Exo demande de reflexion

qlq n£IN-{0.1}
On considére les suites suivante tel que :
Vn=2^(n+1).tan(pi/2^n) et Un= 2^(n+1).sin(pi/2^n)
1) montre que (Un) est croissante et que (Vn) décroissante.
2)montre que: Un<=Vn et que lim(Vn-Un)=0 .
3)déduit que (Un) et (Vn) convergentes et précise leurs limite.
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A vous de jouer...

3) j'ai trouvé lim Un=2pi

salut :
il est clair que pr tt n>=2:
0<pi/2^n <= pi/4.
alors puisque sin et tan sont continue et croissante sur ]0;pi/4].
alors:
1)
on a 2^(n+1)>2^n ==> pi/2^(n+1)< pi/2^n.
==> tan(pi/2^(n+1))<tan(pi/2^n)
==> v(n+1)<v(n)
==> (v(n)) est décroissante.
et de meme pour u(n)
2) il est clair que pr tt n>=2:
u(n)/v(n)=cos(pi/2^n)<=1
donc u(n)<=v(n).
v(n)-u(n)= 2^(n+1)(sin(pi/2^n)-(sin(pi/2^(n-1))/2))/cos(pi/2^n)
alors passons a la limite lim(v-u)=0
3)u(n) et v(n) sont des suite adjascente alors elles convergent et ont la meme limite
lim(u(n))=lim(v(v))=lim(2(2^(n)sin(pi/2^n)))
=(2pi)lim(sin(pi/2^n)/(pi/2^n)).
=2pi.
C.Q.F.D.
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LaHoUcInE
@++

mathema a écrit:

salut :
il est clair que pr tt n>=2:
0<pi/2^n <= pi/4.
alors puisque sin et tan sont continue et croissante sur ]0;pi/4].
alors:
1)
on a 2^(n+1)>2^n ==> pi/2^(n+1)< pi/2^n.
==> tan(pi/2^(n+1))<tan(pi/2^n)
==> v(n+1)<v(n)
==> (v(n)) est décroissante.
et de meme pour u(n)
2) il est clair que pr tt n>=2:
u(n)/v(n)=cos(pi/2^n)<=1
donc u(n)<=v(n).
v(n)-u(n)= 2^(n+1)(sin(pi/2^n)-(sin(pi/2^(n-1))/2))/cos(pi/2^n)
alors passons a la limite lim(v-u)=0
3)u(n) et v(n) sont des suite adjascente alors elles convergent et ont la meme limite
lim(u(n))=lim(v(v))=lim(2(2^(n)sin(pi/2^n)))
=(2pi)lim(sin(pi/2^n)/(pi/2^n)).
=2pi.
C.Q.F.D.
@++

pour celle là tan(pi/2^(n+1))<tan(pi/2^n) d'accord
mais comment vous avez trouvé que :
2^(n+2).tan(pi/2^(n+1))<2^(n+1).tan(pi/2^n)

pour1/ (dabord qqsoit n de N*/`{1}) Vn#0)
soit n de cet ensemble note I
Vn+1-Vn=2^n+2*tan(pi/2^n+1)-2^(n+1)tan(pi/2^n)=2^(n+1)(2tana/2-tan(a)) (on pose a=pi/2^n)
Vn+1-Vn=2^(n+1)(2tan(a/2)-tan(a))=2^n+1*(tan(a)*(1-tan²(a/2)-1)<0 (tana=2tan(a/2)/1-tan²a/2)==>Vn>V+1 qqsoit n de I donc (Vn) decroissante
Un+1-Un=2^n+1(2sina/2-sina)=2^n+1(2sin(a/2)*(1-cos(a/2))>0 donc (Un) croissante
sauf erreur

Oui ça est juste