réflexion

démontrez que chaque nombre entier naturel supérieur strictement à 1 a un diviseur premier.

On peut procéder par récurrence forte, par exemple.

-Initialisation: pour n=2, 2/n.
-Hérédité: Supposons que chaque entier k qui appartient à {2,...,n} a un diviseur premier.
Et montrons que: (n+1) admet un diviseur premier.

Si (n+1) est premier, alors rien à démontrer.
Si (n+1) n'est pas premier, alors il existe deux entiers a et b, tels que: n+1=ab.
Avec a et b appartenant à {2,...,n}. Donc a ou b admet un diviseur premier. Par transitivité de la division dans N, ce diviseur premier divise (n+1).

Conclusion: Chaque entier naturel strictement supérieur à 1, a un diviseur premier.

Soit n>1
Soit A={k entier >1 : k divise n}
A est non vide car contient n ==> A possède un plus petit élément p
Donc p est premier qui divise n sinon on aura une contradiction avec le caractère minimal de p