fonction convexe

Classique de sup !!

Si je m'en rappelle bien vous allez montrer d'abord (par reccurence) que f((1-1/2^n)x+y/2^n)<=(1-1/2^n)f(x)+f(y)/2^n

apres quoi que l'ensemble E={1/2^n/n£ IN} est dense dans [0,1]

d'ou le resultat par définition de la convexité


N.B : je crois que c'est deja posté

il ya meme équivalence

C'est la définition de la convexité

Une fonction convexe sur un intervalle ssi pour tout a de [0,1] pr tt x y de cet intervalle

f((1-a)x+ay)<=(1-a)f(x)+af(y)

De rien t'es le bienvenue encore une fois

stifler a écrit:

la convexité de ln est un outil très utilisé pour démontrer les inégalités les plus connues comme celle de Hölder ! donc en résumé une bonne maitrise des fonctions usuelles est indispensable

Tout a fait d'accord !!, d'ailleurs la comparaison entre les moyennes harmonique , arithmetique et geometrique se fait a partir de la concavité de la fonction ln

En fait avec cet exo tu m'as rappelé un autre classique de sup ,cette fois il s'agit d'une equa fonctionnelle :

Trouver toutes les fonctions verifiant pour tout x y de IR :

f((x+y)/2)=f(x)/2+f(y)/2

Evidemment ce sont les fonctions convexes et concaves en meme temps (consequence de l'exo que t'as posté) ce sont alors les fonctions affines.

J'ai proposé l'exo de l'equation fonctionnelle comme une consequence immediate de ton exo donc c'était pas la peine de chercher une autre solution puisqu'on dispose d'une en deux lignes

Bon je m'explique :

Apres avoir montré que f((x+y)/2)<=f(x)/2 + f(y)/2 <==> f convexe

on a par contraposition : f((x+y)/2)>=f(x)/2+f(y)/2 <==> f concave


or f((x+y)/2)=f(x)/2 + f(y)/2 ==> f((x+y)/2)<=f(x)/2 + f(y)/2 et f((x+y)/2)>=f(x)/2+f(y)/2 ==> f convexe et concave

Les seules fonctions qui sont convexes et concaves a la fois sont celles de la forme : x-> a*x+b avec a et b deux reels (affines)

Ainsi l'ensemble des solution de l'equa fonctionnelle mise en question est l'ensemble des fonctions x->a*x+b avec a et b des reels

N.B : a vrai dire les equa fonctionnelles n'est pas un cours de sup , ce sont plutot des applications de quelques cours vus en sup.

Je t'en prie!

Voici un autre classique de sup toujours en convexité

Etant donné f , fonction continue deux fois derivable convexe sur un segment [a,b] :

Montrer qu'il existe c tel que f soit decroissante sur [a,c] et croissante sur [c,b].

graphiquement c'est immediat!!