Après l'inégalité fausse. abc >= 1.

Voilà, après mon erreur dans ce topic : https://mathsmaroc.jeun.fr/viewtopic.forum?t=1037 , j'ai maintenant une nouvelle inégalité de ce genre, mais correcte cette fois.

a, b, c > 0 tels que 3+a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca+a+b+c.
Prouver que : abc >= 1.

on pose x=a+b+c alors x-3=a²+b²+c²-ab-bc-ac>=0
on sait que 3abc= a^3+b^3+c^3-(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
donc 3abc>=x^3/9-x(x-3)
on pose f(x)=x^3/9-x(x-3)
f'(x)=x²/3-2x+3=1/3(x-3)²>=0
donc f(x)>=f(3)=3
alors 3abc>=3
d ou abc>=1

en fait c pa la peine de supposer que a>0 b>0 et c>0 car l équation 3+a²+b²+c²=ab+bc+ac+a+b+c l assure ...

bien vu