= foncionnelle d'olymp. (IMO 1968)

soit a£IR et soit f:IR--->IR tq pr tt x£IR:

f(x+a)= 1/2 + rac[f(x)-(f(x))²]

1) montrer que f est periodique et déterminer sa période.
2) donner un exemple de fonction qui verifier f.

bonne chance.
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LaHoUcInE
@++

on remarque que f(x+a) ≥ 1/2 pur tous x, par suite f(x) ≥ 1/2 pour tous x.
donc f(x+2a) = 1/2 + √( f(x+a) - f(x+a)2 ) = 1/2 + √f(x+a) √(1 - f(x+a))
= 1/2 + √(1/4 - f(x) + f(x)2) = 1/2 + (f(x) - 1/2) = f(x). donc f est periodique de péride 2a.


exemple(c'est n'est pas mon exemple)
x-->1/2 lsin(pi .x/2)l+1/2