equation differencielle besoin d'aide svp

Pouvez vous m'aider a resoudre cette exercices :

La fonction f(x)=exp x est l'unique fonction b'=b et b(o)=1

1/

a) montrer que la fonction f est(x)=exp(ax) est la solution de l'equation y'=ay

(J'ai reussi à resoudre cette question)

b) Soit g une solution de l'equation y'=ay. Soit h la fonction definie sur R par h(x)=g(x) exp(-ax) montrer que h est une fonction constante.(j'ai reussi)

c) en deduire l'ensemble de solution de l'equation y'=ay
(j'ai reussi)

2/je bloque a partir de là:

a) Determiner les nombres reels a et b tels que la fonction f0 definie sur R par :
f0(x)=a cos(x) + b sin (x) , soit une solution f0 de (E)

b)resoudre l'equation differencielle (E0) :y'=2y
(je trouve les fonction fk(x)=k exp(2x))

c)Demontrer que f est une solution de (E) si et seulement si f-f0 est une solution de (E0)

d) En déduire les solutions de (E)

e) Determiner les solutions k de (E) verifiant k(π/2)=0

Merci d'avance

SVP , 2) a) l'équation (E) c'est quoi au juste ?

pardon, (E): y'=2y+cos x

salut leila :
pour 2-a) tu remplace y par f0 et puis tu factorise par cos(x) et sin(x) ... enfin tu trouveras {a=-2/5 ; b= 1/5}.
pour 2-b) oui c'est vrai y(x)=kexp(2x) avec k£IR.
2-c):
==>) supposons que f est une solution de (E) alors:
f'=2f + cos(x) ==> f'-f'0=2f + cos(x) - f'0 + 2f0 - 2f0==>
f'-f'0=2(f-f0) + cos(x)-f'0+2f0.
puisque cos(x) - f'0 + 2f0=0 (car f0 est une solutin de E)
alors: (f-f0)'=2(f-f0) donc (f-f0) est solution de (E0).
<==)montrons l'inverse:
i.e si f-f0 est une solution de (E0) alors f est une solutin de (E):
supposons que (f-f0) est une sol. de (E0) alors:
(f-f0)'=2(f-f0) ==> f'-f'0=2f-2f0 ==>f'=2f - 2f0+f'0
puisque f'(0)-2f0=cos(x) (car f0 est aussi sol. de (E)).
alors: f'=2f+cos(x) d'où f est solution de (E). C.Q.F.D
NB: il est facile de montrer que la somme des solution est une solution.
2-d) les solution de (E) sont y(x) =kexp(2x) +2/5 cos(x) - 1/5 sin(x). k£IR.
2-e) la solution k qui verifier k(pi/2)=0 c'est:
k(pi/2)=kexp(pi)- 1/5 =0 ==> k=exp(-pi)/5.
donc:
k(x)={1/5}*{exp(2x-pi) - sin(x)} + {2/5} cos(x).
C.Q.F.D.
Remarque:
il y'a des methodes trés facile et trés courte que là mais je préfere là car est trés banale à comprendre!!!
et merci
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LaHoUcInE
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merci beaucoup pour ta reponse =)

par de quoi nous sommes des amis (ou commme une famille)
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LaHoUcInE
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