SVP très urgent : applications

Bonjour, je vous prie de m'aider pour ces deux exercices que je dois le rendre demain matin et que je n'ai pas réussi à faire :

I\
Soit f : NxN -----> N
(p;q)-----> p+1/2(p+q)(p+q+1)
1) montrer que f est une application
2) montrer que f est injective (tabayouni)

II\
A et B deux parties de E tel que AUB=E et A^B=O/ (ensemble vide)
démontrer que A bar = B
2) Soit E et F deux ensembles non vides et f une application de E vers F
a) démontrer que si A c B (inclu) ==> f(A) c f(B)
b)en déduire que f(A^B) = f(A) ^ f(B)
c) démontrer que f(AUB) = f(A) U f(B)
3)démontrer que si f est injective ==> f(A^B)= f(A) ^ f(B)
4)démontrer que si f est bijective (ta9abol) ==> f(CAE) = Cf(A)F (A et f(A) en haut et E et F en bas)

P.S : ^ c'est intersection
Merci de m'aider car je dois remettre ce devoir pour demain et j'ai 3 DS à préparer, je vous en serait très reconnaissant.

plizzzzz

SVP aidez moi

pour le II-
1 - hadi facile , on suppose ke A bar = B
A U B = A U A bar = E é hadi sa7i7a qqlsoit A c E
A ^ B= A ^ A bar = O é hadi aussi sa7i7a qqlsoit A c E
donc A bar = B
N.B: pour aussi convaincre le prof on peut faire le cas de A = B bar

2 - si A c B ==> f(A) c f(B) on doit démontrer ça
alors , liyakon :
y £ f(A) <=> Yojad x £ A : y=f(x )
==> x £ B : y=f(x ) (pck A c B)
==> y £ f(B)
donc A c B ==> f(A) c f(B)

3- on déduit ke f(A^B) c f(A) ^ f(B) (il y a une faute f ton exo car l'égalité né ke si f est injective)

on a A ^ B c A donc f(A^B) c f(A)
A ^ B c B donc f(A^B) c f(B)

alors andiro l'intersection é on trouve ke f(A^B) c f(A) ^ f(B)

4- y £ f(AUB) <=> Yojad x £ AUB et y=f(x )
<=> (x£A ou x£b) et y=f(x )
<=> (x£A et y= f(x ) ) ou (x£B et y=f(x ) [La logique XD]
<=> y£ f(A ) ou y£ f(B )
<=> y£ f(A )Uf(B )