suite

Soit (U_n) et (V_n) deux suites tq: U_n < a et V_n < b et lim U_n +V_n = a+b
Montrer que : lim U_n = a et lim V_n = b.

Par l'absurde :

si Un ne converge pas vers a et comme Un <= a

Alors il existe M < a tel que pour tout n : Un <= M

Donc lim (Un + Vn) <= M+b , d'où : a+b < = M+b -------> a <= M

absurde.

houssa a écrit:

Par l'absurde :
si Un ne converge pas vers a et comme Un <= a
Alors il existe M < a tel que pour tout n : Un <= M
Donc lim (Un + Vn) <= M+b , d'où : a+b < = M+b -------> a <= M
absurde.

BJR à Toutes et Tous !!
BJR houssa !!
Vous avez dit :

<< si Un ne converge pas vers a et comme Un <= a
Alors il existe M < a tel que pour tout n : Un <= M >>

Celà me parait faux !!!
Je vous donne un Contre-Exemple que vous n'êtes pas sans ignorer .
Considérez donc la suite {Un=(-1)^n}n suite DIVERGENTE , on a bien
Un<=1 pour tout entier n
MAIS il n'existe pas de M , M<1 tel que Un<=M
( sans quoi U(2n)=1<=M et donc M=1 .... )

Je vous le dis sans aucun esprit belliqueux , ni animosité ! C'est juste pour le plaisir de faire de bonnes maths !!!

PS : quant à l'exercice proprement dit posé à l'origine par L , je suis réellement à court d'idées ! Je le trouve alambiqué !!