montrer que :

montrer que

(1/n)*sigma(ln(xi)<= ln(sigma(xi) /n)

i varie de 1 jusqu'a n

bonne chance

essaie la recurence ???

soit n de N*
1/n*sigma(ln(xi)=sigma(ln(xi^(1/n))=ln(prod(xi^(1/n)))
il suffit de demontrer que
sigma(xi)/n>=produit(xi^(1/n) ) (IAG)
<=>(sigma(xi/n))^n>=produit xi
on considere f(x)=1/x*(x+@/n)^n(on l'avait eu comme devoir a la maison) ou @ reel positif
f est minoree par (@/n-1)^n-1 ca d'une part
on demontre l'inegaltie par reccurence pour n=1 c'est vrai car x1>=x1
on doit demontrer que
(sigma(xi)/n+1)^n+1>=produit xi
on pose @=sigmaxi jusqua n
selon ce qui precede
fn+1(x)>= (@/n)^n
donc fn+1(xn+1)>=(@/n)^n
et comme fn+1(xn+1)=1/xn+1((@+xn+1)/n+1)^n+1
alors
1/xn+1((@+xn+1)/n+1)^n+1>=(@/n)^n

selon la supposition de la reccurence
(@/n)^n>=prduit xi jusqua n
donc
1/(xn+1)*(((@+xn+1)/n+1)^n+1)>=produitxi jusqua n
donc (sigma xi/n)n>=produit xi
et on deduit pour la premiere question
sauf erreur

on peut facilement démontré que l'inégalité demandée équivaut à:
[produit(xi)]<=((Σxi)/n)^n

aprés on démontre que: (qlq x>0) ln(x)<=x-1 (1)

on pose B=((Σxi)/n)

d'après (1) on a ln(xi/B)<=(xi/B)-1

donc Σln(xi/B)<=Σ[(xi/B)-1]

==>ln((produit(xi/B))<=[(1/B)*Σ(xi)]-n

==>ln((produit(xi/B))<=0 (B=((Σxi)/n) alors [(1/B)*Σ(xi)]-n=0)



donc 0<produit(xi/B)<=1

==>0<(produit(xi))/(B^n)<=1(produit(xi/B)=(produit(xi))/(B^n))


==>(produit(xi))<=B^n

meme methode que khatire d'autre solution ?

spiderccam a écrit:

meme methode que khatire d'autre solution ?

BJR spidercacam !!
Je réagis à chaud !!
Il serait possible , et c'est à votre portée , d'utiliser les propriétés des Fonctions Convexes . Il s'agit dans cet exo de la fonction :
f : x-------> f(x)=Ln(x) de IR+* à valeurs dans IR et qui est CONCAVE ce qui veut dire que (-f) est CONVEXE !!!
C'est à fouiller ......