tout reel est la limite de deux suites de decimaux

soit a un reel
soit (vn) et (un) tel que
qqsoit n de N vn=un+10^(-n) et un=10^(-n)*E((10^n)*a)
E est la fonction partie entiere
1/verifier que (vn) et (un) sont composees de nombres decimaux
2/montrez que qqsoit n de N un=<a<=vn
3/montrer que (un) croissante et (vn) decroissante
4/determienr lim un
5/en deduire que tout reel est la limite de deux suites de decimaux
soit f fonction definie sur R et qui verifie les deux conditions:
1-f croissante sur R
2-qqsoit d nombre decimale f(d)=2d+4
montrer que qqsoit a de R f(a)=2a+4

L a écrit:

soit a un reel
soit (vn) et (un) tel que
qqsoit n de N vn=un+10^(-n) et un=10^(-n)*E((10^n)*a)
E est la fonction partie entiere
1/verifier que (vn) et (un) sont composees de nombres decimaux
2/montrez que qqsoit n de N un=<a<=vn
3/montrer que (un) croissante et (vn) decroissante
4/determienr lim un
5/en deduire que tout reel est la limite de deux suites de decimaux
soit f fonction definie sur R et qui verifie les deux conditions:
1-f croissante sur R
2-qqsoit d nombre decimale f(d)=2d+4
montrer que qqsoit a de R f(a)=2a+4

slt !!!
je penses que c'est Un=<a<Vn
voila un lien qui peut aider :
http://mathematiques.scola.ac-paris.fr/textoff/InfoTS/fp/Developpement.pdf

comme tu veux ,je crois meme que tu as raison ej viens de reverifier

mais je crois que ce n'est pas fatal de mettre <=^^
en tout cas desole

Salut
Effectivement c'est ce qu'on appelle la densité de Q dans IR en reformulant la proposition on peut dire que toujours entre deux nombres réels on peut trouver un nombre décimale,ou bien plus mathématiquement qq soient (a,b)(a<b) de IR² il existe q de Q tel que a<q<b.
l'exo proposé est un cas particulier.

la premiere partie est abordable juste avec cette inegalité : x-1<E(x)=<x
pour la deuxieme :
sois a_n une suite croissante de rationelles et b_n une suite decroissante des rationelles tel que a_n et b_n converge toutes les deux vers x de R.
donc on a :
an=<x=<bn et pisque f est croissante on aura :

f(an)=<f(x)=<f(bn) <==> 2an+4=<f(x)=<2bn+4

faisons tendre n vers l infini on aura :

2x+4=<f(x)=<2x+4 donc f(x)=2x+4 pr tt x de R.

on peut aussi traiter le cas ou f est seulement continue et pas forcement monotone

sami a écrit:

Salut
Effectivement c'est ce qu'on appelle la densité de Q dans IR en reformulant la proposition on peut dire que toujours entre deux nombres réels on peut trouver un nombre décimale,ou bien plus mathématiquement qq soient (a,b)(a<b) de IR² il existe q de Q tel que a<q<b.
l'exo proposé est un cas particulier.

BSR à Toutes et Tous !!!
En fait l'exo de L apporte beaucoup mieux que celà car , il permet de manière CONSTRUCTIVE de fabriquer , pour tout réel donné a , deux suites ADJASCENTES de DECIMAUX ( ce qui est mieux que rationnels ) qui ont la propriété d'encadrer a !!!!!
Un décimal est un rationnel ;
MAIS un rationnel n'est pas forcément un décimal ( prendre 1/3 par exemple ).
Pour ce qui est des hypothèses sur f et là , je réponds à memath , la croissance de f SUFFIT ( puisque les suites {an}n et {bn}n sont monotones et de sens de variations opposés )
La continuité de f me parait être une hypothèse plus FORTE que la simple croissance !!