Limite

soit I un intervalle de IR, f : I--> IR une application monotone, x_0 £ à l'intérieur de I. Supposons que f est croissante.
Montrer que f admet en x_0 une limite finie à droite, et une limite finie à gauche et que : lim ( x-->x_0 et x<x_0 ) f(x) < f(x_0) < lim ( x-->x_0 et x>x_0 ) f(x).

Alors ? qlq a une idée ???

soit x de ]x0-r , x0+r[ dans I avec r>0

si x € ]x0-r,x0[ alors x=<x0 donc f(x)=<f(x0) et puis lim(x0-)f(x)=<f(x0)
si x € ]x0 , x0+r[ alors x>=x0 donc f(x)>=f(x0) et lim(x0+)f(x)>=f(x0)

donc : lim(x0-)f(x)=<f(x0)=<lim(x0+)f(x)

avec egalité ssi f est continue en x0

memath a écrit:

soit x de ]x0-r , x0+r[ dans I avec r>0

si x € ]x0-r,x0[ alors x=<x0 donc f(x)=<f(x0) et puis lim(x0-)f(x)=<f(x0)
si x € ]x0 , x0+r[ alors x>=x0 donc f(x)>=f(x0) et lim(x0+)f(x)>=f(x0)

donc : lim(x0-)f(x)=<f(x0)=<lim(x0+)f(x)

avec egalité ssi f est continue en x0

lu,
t'as pas encore terminé la démo : avant de parler de lim(x0+)f(x) montre d'abord qu'elle existe et elle est finie ...

puisque ]x0-r,x0+r[CI donc x0 ne peut pas etre borne de I. donc c est trivial que la limite existe et qu elle est fini.
et pour le montrer il suffit de le montrer à pour A=]x0-r,x0[
A est majoree par f(x0) et donc admet une borne superieur L
soit a>0 , il existe un x0' de A tel que L-a<f(x0')
donc pr tt x de ]x0',x0[ f(x)>=f(x0)'>L-a
ce qui se traduit
x0-(x0-x0')<x<x0 ==> |f(x)-L|<a

qui n est que la definition de la limite à gauche de x0