Problème de Janvier 2009

Soit E le IR-espace vectoriel constitué des fonctions de IR dans IR, continues et intégrables sur IR.
On munit E de la norme : ||f||=(int _IR) |f(t)| dt.
Soit F le sous-espace de E constitué des fonctions à support compact.

1. Montrer que F est dense dans E pour || · ||.
2. Soit f de E. En déduire lim (h-->0) (int _IR) |f(t + h) − f(t)| dt.
3. Soit f de E. En déduire lim (h-->+00) (int _IR) |f(t + h) − f(t)| dt.

BONNES ANNEES 1430 et 2009

Salut,
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salut !!!

solution posté par MP aussi .

car il y'a pas bcp des participants ici et merci
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wagshall

salut Mr!!!!

Probleme de mois janvier 2009 rédigé par lahoucine "wagshall"
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1) F=adh({f£E ; pr tt x£IR / f(x) #0}):

alors il est clair que F est férmé donc:

soit (fn)n>n0 une suite ordonée de fonction de F qui converge --> f £F C E (car F est fermé) d'où f£E alors F dense dans E.

on a pr tt f£F f est uniformemet continue et puisque F est dense dans E donc adh(F)=E d'où F=E alors pr tt f£E f est uniformement continue donc on peut conclure que:

2) lim -->0.
3) lim-->0.
C.Q.F.D

1/ soit f une fonction de E,cherchons une suite de F de telle sirte qu`elle converge vers f ce qui montre que F dense dans E.On prend,
T_n(x)=1 si x appartient à [-p,p]
T_n(x)=0 si IxI>p+1.
T_n(x)= affine ds les deux autres intervalles restants.
soit mnt f_n=T_n*f alors un petit calcul prouve que f_n----->f qd n ---->+infini.

2 et 3/ puisque F dense ds E in montre le resultat d`ábord pour f appartenant à,puis on prend g de E on aura donc pour tout epsillon >0,il existe un f de F telle que IIf-gII<epsilon....pour les deux limites on trouve 2*int{IR}IfI-