la solution de rachid18:
i) Raisonnons par l'absurde.Supposons qu'il existe des nombres rationnels x et y tel que 2x² - 3y² = 1.Posons x = x'/x'' et y = y'/y'' pour des entiers relatifs x',x'',y' et y''.En multipliant par (x".y")²,l'equation devient 2(x'.y")² - 3(y'.x")²=(x".y")².On va prouver un résultat plus fort : Il n'existe pas d'entiers relatifs a,b et c tel que : 2a² - 3b² = c².Puisce que tout carré parfait est congru à 0 ou 1 modulo 3,alors 2a² est congru à 0 ou 2 modulo 3 et -c² est congru à 0 ou -1 modulo 3.Pour que 2a²-c² soit divisible par 3,il est necessaire alors que 2a² et c² soient congrus à 0 modulo 3,d'ou a et c sont divisibles par 3.Soit k le plus grand entier naturel tel que a=(3^k).a' et c=(3^k).c' ( => a' ou c' ne sont pas divisibles par 3 ).L'équation 2a²-c²=3b² équivaut à 3^(2k-1).( 2(a')²-(c')² ) = b²,d'ou 3^(2k-1) divise b²,ce qui n'est vrai que si et seulement si 3^k divise b.Posons b=(3^k).b',l'équation 3^(2k-1).( 2(a')²-(c')² ) = b² équivaut à 2(a')²-(c')²=3(b')²,ce qui entraine que a' et c' sont divisibles par 3,Contradiction !
Il n'existe pas d'entiers relatifs a,b et c tel que : 2a² - 3b² = c².Par conséquent,on ne peut pas trouver des nombres rationnels x et y tel que : 2x² - 3y² = 1.
ii) Il suffit de prouver qu'il existe une infinité d'entiers naturels tel que 3a² - 2b² = 1.En effet,remarquons que le couple (1,1) vérifie l'équation 3a² - 2b² = 1,et si (a,b) est une solution,on peut facilement vérifier que le couple (5a+4b,6a+5b) est une solution aussi,d'ou le résultat.
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