Démonstration sur les nombres complexes

Bonsoir à tous,

Alors voila,
Soit j le nombre complexe e^(2ipi/3).
Démontrer les propriétés suivantes de j :

1- j=(-1/2)+i(rac3/2)
2- j^3=1
3- 1+j+j^2=0
4- -j^2=j

Réponses :

1- j= cos (2pi/3)+isin (2pi/3)
= (-1/2)+i (rac3/2)

2- (e^2ipi/3)^3=1
e^2ipi=1
j=1

3- J'ai utilisé le descriminant et j'ai obtenu x1=(-1/2)-i(rac3/2)
x2=(-1/2)+i(rac3/2)
Mais j'ai des doutes, je démontre rien du tout.

4- Je ne vois pas comment on peut faire.

J'ai besoin de votre aide.
Merci d'avance et bonne année à tous.

salut mimi !!!
pour 3)
on a: (j^3 -1)=(j-1)(1+j+j²)
on a donc d'aprés 2) j^3-1=0 ===> j=1 ou 1+j+j²=0 et puisque j#1 (d'aprés 1) alors 1+j+j²=0.
pour 4)
je crois qu'il y'a quelque chose ... mais j²=conjugué(j).
en effet:
posons j'=conj(j)
alors j^3 =1===>j^3*j'=j' ===> j² |j|²=j'===>j²=j'.
car |j|=1.
____________________________________________________________
lahoucine

On considere trois point A(a) B(b) C(c)

et le nombres complexes j= e^(2pi/3)

tel que a+bj+cj²=0

montrer que 1+j+j²=0 (c'est déja fait)

qu'elle est la nature du triangle ABC ?

yassmaths a écrit:

On considere trois point A(a) B(b) C(c)
et le nombres complexes j= e^(2pi/3)
tel que a+bj+cj²=0
montrer que 1+j+j²=0 (c'est déja fait)
qu'elle est la nature du triangle ABC ?

BJR à Toutes et Tous !!
BJR yassmaths !!
Mes Meilleurs Voeux 1430/2009 .
Ta question est assez intéressante ! Elle marie parfaitement la GEOMETRIE et l'ANALYSE car une propriété analytique dans C induit une caractérisation géométrique !
On sait démontrer que :
{ Le triangle ABC est EQUILATERAL } <======> { a+bj+cj²=0 }

Il ne faut pas s'en étonner , il y a beaucoup de propriétés de nature géométrique que l'on sait traduire à l'aide des complexes C ( Transformations géométriques planes , Orthoganalité , Alignement etc ... )

1+j+j²=0<=>1+j=-j²
donc a+jb+j²c=0<=>a+jb-jc-c=0
<=>(c-a/c-b)=-j ou b ou B=C
<=>(CB.CA)=pi-2pi/3 [2pi]=pi/3[2pi]
et aussi
j=-j²-1
donc a+jb+j²c=0<=>a-j²b-b+j²c=0<=>(a-b)/(c-b)=-j²
donc (BC.BA)=arg(-j²)[2pi]=pi/2[2pi]
B^=C^=pi/3 donc A^=pi/3 donc ABC equilateral
sauf erreur

BJR à Toutes et Tous !!
BJR L !!

C'est tout à fait exact !!!!
Ce qu'il faut retenir ici c'est que la Rotation de centre D(d) et d'angle Thêta est représentée par l'application suivante de C dans C définie par :
z ---------> Z=f(z)=d+exp(i.Thêta).(z-d)
qui traduit à ELLE SEULE analytiquement la propriété de la Rotation à savoir :
Angle(DM,DM')=Thêta modulo 2Pi
avec M(z) et M'(Z) et Module(DM)=Module (DM')

{ Le triangle ABC est EQUILATERAL } <======> { a+bj+cj²=0 ou a+bj'+cj'²=0 } j'=j bar