nombres complexes

princess des maths et de retour
les nombres complexes ( pas si complexes que ça ! )
ils sont nouveau pour nous ... mais pas pour les maths ... ils sont apparus vers 1530 !
ces nombres bizarres qui admettent un carré negatif !!! se laissent quand meme manipuler simplement ...
revisez le cours et voila un exercice :
on considere dans C l'equation (E): z^4 +64 =0
1- on pose Z= z²
a)- Donner les solutions de l'equation obtenue sous forme trigonometrique .
b)- En deduire , sous forme trigonometrique , puis algebrique , les solutions de (E) .
2- On appelle A la solution de (E) dont les parties imaginaires et reelle sont positives :
a)- Verifier que les autres solution peuvent s'ecrire : (i^n)A .
b)- En deduire la nature du quadrilatere dont les 4 sommets ont pour affixes les solutions de (E) .

10 exercices vous attendent , un peu d'effort !

j'ai pas de feuille devant moi ,je vais resoudre l'équation sans suivre les étapes

* Si z=0
64 = 0
Donc l'équation n'admet pas de solution dans C

* Si z # 0
z^4 = -64
[ r , Teta ]^4 = [ 64 , Pi ]
[ r^4 , 4teta ] = [ 64 ,Pi ]

Donc : r^4 = 64 => r = 64 ^ 1/4 ou - (64)^(1/4)
& Teta = Pi/4

Ce qui implique que z = 64 ^ (1/4 ) [ cos Pi/4 + i Sin Pi/4 ]
= 64 ^ ( 1/4 ) [ V2 /2 + i V2/2 ]
= 64^(1/4)*V2/2 + i64^(1/4)*V2/2 ou bien - ( 64^(1/4)*V2/2 + i64^(1/4)*V2/2 )

pour ce qui est de ma reponse :
1)- en posant z²=Z , l'equation E devient : (E') :Z²+64 =0
a- on a pour tout Z de C, Z²+64 = (Z-8i)(Z+8i)
les solutions de (E') sont : Z=8i et Z'=-8i
on a visiblement :
Z=8(cos pi /2 +isin pi/2) et Z' conjugué de Z .
b- reste à resoudre les equations z²=Z et z²=Z'
on pose z=r(cosµ+isinµ) on a z² = r² ( cos2µ+isin2µ)
je pose pi = £
l''equation z²=Z admet deux solution : z= 2V2(cos£/4 +isin £/4 )= 2+2i
et z= 2V2 ( cos 5£/4 + isin 5£/4 ) = -2-2i
de la meme façon on a que z²=Z' admet deux solutions : z=2-2i et z= -2+2i