Identité du Parallélogramme et réciproque ..

Salam alikom,

On sait que dans tout parallélogramme ABCD, l'égalité suivante AC²+BD²=2(AB²+AD²) est vérifiée .Elle est connue par "Identité du parallélogramme"

Questions: soit ABCD un polygones convexe quelconque.
1-Est ce que AC²+BD²=2(AB²+AD²) implique ABCD est un parallélogramme?
2-Est ce que AC²+BD²=AB²+AD²+BC²+DC² équivalent à dire ABCD est un parallélogramme?

PS: c'est pas difficile et pourtant instructif !

salut

le mot régulier signifie : tous les côtés sont égaux

c'est même un losange

je pense que tu veux dire convexe.

je reviens

1) la réponse : c'est faux car

soit O le milieu de [BD]

je choisis : A , C non alignés avec O et tels que : AC = 2.AO

ABCD n'est pas un parallèlogramme car :[AC] et [BD] ne se

coupent pas en leurs milieus

Et pourtant:
AC^2 = 4.AO^2
AC^2 + BD^2 = 2[2.AO^2 + 1/2.BD^2]

le théorème de la médiane dans ABD donne

AC^2 + BD^2 = 2.[AB^2 + AD^2]
--------------------------------
je reviendrai pour 2)

Salam alikom ,
Merci pour la remarque^^.
Bon contre exemple .
j'attend une réponse pour Q2.
@++

je reviens

pour 2) c'est vrai

si ABCD est un parallèlogramme l'égalité est vraie (du calcul)

réciproque: encore le th de la médiane

je note O le milieu de [AC] , et I le milieu de [BD]

AB^2 + BC^2 = 2.BO^2 + 1/2.AC^2

CD^2 + AD^2 = 2.DO^2 + 1/2.AC^2

ajoutons:

AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = 2(BO^2 + DO^2) + AC^2

donc : AC^2 + BD^2 = 2( 2.OI^2 + 1//2. BD^2) + AC^2

d'où : 4.OI^2 = 0 ====> O = I

les deux diagonales se coupent en leurs milieux
ABCD est un parallèlogramme....


j

houssa a écrit:

je reviens

pour 2) c'est vrai

si ABCD est un parallèlogramme l'égalité est vraie (du calcul)

réciproque: encore le th de la médiane

je note O le milieu de [AC] , et I le milieu de [BD]

AB^2 + BC^2 = 2.BO^2 + 1/2.AC^2

CD^2 + AD^2 = 2.DO^2 + 1/2.AC^2

ajoutons:

AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = 2(BO^2 + DO^2) + AC^2

donc : AC^2 + BD^2 = 2( 2.OI^2 + 1//2. BD^2) + AC^2

d'où : 4.OI^2 = 0 ====> O = I

les deux diagonales se coupent en leurs milieux
ABCD est un parallèlogramme....


j

Parfait Merci pour la solution .

bonjour

l'idée est bonne sauf que

a) remplacer le 2(....) par 1/2.(......) partout.

b) à la fin : si ll AD-BCll^2 + llAB-DCll^2 = 0

la somme de 2 nombres positifs =0 ====> chacun =0

===>CQFD

-------------- à d'autres +++.........

salut mr aloui

mais c'est connu :

norme ( vec(U)) =0 <====> vect(U) = vect(0)