exercice pas mal et facile ^^

bonsoir mes amis et voilà l'exo :
on a X1 et X2 et ... Xn des nombres positifs non nuls et n un nombre de sorte que :
X1*X2......*Xn =1
-Démontrez que : (1+X1)*(1+X2).....*(1+Xn)>=2^n

avant de reponds voici un site que j'ai trouvé aujourd'hui de maths il y a bcp des méthodes dans ce site de maths http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=79&IDD=0

pour cet exo fo utiliser la récurrence

salam

1 + x = x(1+ 1/x) > 2x car pour : 0 < x <1 on a :1/x > 1

=============>
X1(1+1/X1) > 2X1
X2(1+1/X2) > 2X2
.........
.........
Xn(1+1/Xn) > 2Xn

---------------
le produit (tous positifs)

(1+X1)(1+X2)(.........)(1+Xn) > 2^n


.

on X1 >= 1 donc
1+X1>=2>0
1+X2>=2>0
1+X3>=2>0
........
1+Xn>=2>0


نضرب المتفاوتات طرف بطرف
(1+X1)*(1+X2).....*(1+Xn)>=2^n

salam

mes excuses ma solution n'est pas correcte.

je reprend .

------------------------

1+X1>=2racineX1
1+X2>=2racineX2
......
1+Xn>=2racineXn


En multipliant
.........>=2racineX1X2....Xn = 2
@+

HMXXMH a écrit:

bonsoir mes amis et voilà l'exo :
on a X1 et X2 et ... Xn des nombres positifs non nuls et n un nombre de sorte que :
X1*X2......*Xn =1
-Démontrez que : (1+X1)*(1+X2).....*(1+Xn)>=2^n

bsr à tous:
1+X1≥2√X1
1+X2≥2√X2
. .
. .
. .
. .
1+Xn≥2√Xn
alors (1+X1)(1+X2).........(1+Xn)≥2x2x2x2x2..........x2√X1*X2*X3.....*Xn
d'où (1+X1)(1+X2).........(1+Xn)≥2^n√1 (carX1*X2......*Xn =1)
donc (1+X1)(1+X2).........(1+Xn)≥2^n

amjad92b a écrit:

on X1 >= 1 donc
1+X1>=2>0
1+X2>=2>0
1+X3>=2>0
........
1+Xn>=2>0


نضرب المتفاوتات طرف بطرف
(1+X1)*(1+X2).....*(1+Xn)>=2^n

bsr amjad
tu as dit que X1 >= 1 peux tu expliquer stp pourquoi?enfin on a:X1*X2.......*Xn=1 ça ne veut pas dire nécessairement que X1 >= 1 et que X2>=1 .......et que Xn>=1 ....n'est ce pas?

houssa a écrit:

salam

1 + x = x(1+ 1/x) > 2x car pour : 0 < x <1 on a :1/x > 1

=============>
X1(1+1/X1) > 2X1
X2(1+1/X2) > 2X2
.........
.........
Xn(1+1/Xn) > 2Xn

---------------
le produit (tous positifs)

(1+X1)(1+X2)(.........)(1+Xn) > 2^n


.

slt houssa

X1(1+1/X1)=X1+1 (on a que X1X2X3......Xn=1 alors X1;X2......et Xn sont strictement positifs)
X1(1+1/X1) > X1.(2√1/X1)
alors X1+1> X1.(2√1/X1)
X2+1>X2.(2√1/X2)
.. ..
.. ..
.. ..
Xn+1>Xn.(2√1/Xn)
alors
(1+X1)(1+X2).........(1+Xn>(X1*X2*.....Xn)2.2.2........2√1/(X1*X2....Xn)
(2.2.2.......2 veut dire n fois )
d'où (1+X1)(1+X2).........(1+Xn)>1.2^n.√1/1
donc
(1+X1)(1+X2)(.........)(1+Xn) > 2^n
voilà j'ai pris votre méthode et je l'ai modifiée un peu

majdouline
si c le cas de IN ma démo serait juste
pck X1 et X2 .....Xn des nombres non nules donc Xn>0 <=>Xn>=1
pck ns sommes dans l'ensemble des entriers naturels
X1>=1 <=> 1+X1>=2
X2>=1 <=> 1+X2>=2
X3>=1 <=> 1+X3>=2
.......
Xn>=1 <=> 1+Xn>=2

نضرب المتفاوتات طرف بطرف
on aura donc
(1+X1)*(1+X2).....*(1+Xn)>=2^n (pck 2*2*2*2.......*2 n fois)

J'ai déja fait cet exo
x de IR (x>0)
!

amjad92b a écrit:

majdouline
si c le cas de IN ma démo serait juste
pck X1 et X2 .....Xn des nombres non nules donc Xn>0 <=>Xn>=1
pck ns sommes dans l'ensemble des entriers naturels
X1>=1 <=> 1+X1>=2
X2>=1 <=> 1+X2>=2
X3>=1 <=> 1+X3>=2
.......
Xn>=1 <=> 1+Xn>=2

نضرب المتفاوتات طرف بطرف
on aura donc
(1+X1)*(1+X2).....*(1+Xn)>=2^n (pck 2*2*2*2.......*2 n fois)

oui ça si c le cas de N
mais on a que X1 X2.....XN Des nombres positifs ça ne veut pas dire NECESSAIREMENT qu'ils appartiennent à N enfin ils peuvent appartenir à R* comment ils peuvent appartenit à Q*
je te donne un exemple :ON peut remplacer X1 par 0.5 X2 par 2 et tous les autres nombres qui restent par 1 1 1.... on va obtenir :X1*X2*X3....*Xn=1
alors X1+1 <2
oui g bien compris que ça sera bien juste si ces nombres appartiennent àN mais on ne sait pas si c vrai ou pas...