exercice Facile

Salut!

Soit x,y et z Nombres réels strictement positifs

1) Montrez que : ( x +y+z ) ( 1/x + 1/y+ 1/z) >= 9

2) Sachant Que x +y+z =1

Deduire Que :

1/a+1/b+1/z >= 9

Bonne chance .

Bonjour,

1/ AM-HM: (1/3)(x+y+z)>=1/((1/3)(1/x+1/y+1/z)) <=> (1/9)(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=1 <=> (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9.

2/ 1/x +1/y +1/z >= 9 --'

Merci.

Oui C'est Juste .Bien Joué M.Marjani

1) (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9
On a (x+y+z)(1/x+11/y+1/z) = 1+1+1 +x/y+y/x+x/z+y/z+y/z+z/y.
On sait que 1/a+a >=2
Donc y/x+x/y>=2
et y/z+z/y>=2
et x/z+z/x>=2
En aditionnant on a :
y/x+x/y+x/z+z/x+y/z+z/y +1+1+1 >= 9
Donc (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9

et pour le 2):
1/x+1/y+1/z = (x+y+z)/x + (x+y+z)/y+(x+y+z)z = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) >=9

Amicalement

Application direct de Cs ^^

Cauchy-schwartz!