Integrabilité

Soit f : R+ −! R+ de classe C1, intégrable.
1) On suppose f'(inferieur a) 1. Montrer que f(x) tend vers 1 kand x tend vers +oo
0.
2) Est-ce encore vrai si on suppose seulement f' (inferieur a ) 1 + g avec g intégrable ?

L'enoncé est faux !

prendre f(x)= exp(-x)

Bonsoir ;

ce ne serait pas plutôt :

Citation :

Montrer que f(x) tend vers 0 kand x tend vers +oo

? sauf erreur bien entendu

Oui abdelali
f est uniformement continue et integrable ==> f-->0 en +00

Oui abdelbaki !
veux tu donner une démonstration de ce résultat ? merci

Ok abdelali, c'est classique !

soit eps>0 , existe eta>0 : |x-y|=< eta ==> |f(x)-f(y)|<eps.

(int,x,x+eta)|f(t)| dt ---> 0 quand x--->+00

existe a>0 : x>= a ===> (int,x,x+eta)|f(t)| dt <eps

soit x>a , et x =< t =<x+eta
|f(x)|=<| f(x)-f(t)|+|f(t)| <eps +|f(t)|
==> eta.|f(x)|=<eta.eps+ (int,x,x+eta)|f(t)| dt =< (eta +1)eps

d'où le résultat