inégalité génante.....

soit A,B,C,a,b,c des nombres réels strictement positif tel que:
a+A=b+B=c+C=k
démontrer que: aB+bC+cA<k^2

(a+A)(b+B)(c+C)=k^3
<=>(ab+aB+Ab+AB)(c+C)=k^3
<=> abc+aBc+Abc+ABc+abC+aBC+AbC+ABC=k^3
<=> k^3=abc+aBc+Abc+ABc+abC+aBC+AbC+ABC>aBc+Abc+ABc+abC+aBC+AbC=aB(c+C)+bC(a+A)+cA(b+B)=k( aB+bC+cA)
<=> k^2>aB+bC+cA

NAOUFAL(omar ibn abdelaziz)

jolie solution naoufal

EINSTEINIUM a écrit:

soit A,B,C,a,b,c des nombres réels strictement positif tel que:
a+A=b+B=c+C=k
démontrer que: aB+bC+cA<k^2

x+a=y+b=z+c=k
MQ:
ay+bz+cx<k^2

Solution :
<=> a(k-b) + b(k-c) + c(k-a) < k^2
<=> k(a+b+c)-ab-ac-bc<k^2
avec (a,b,c) dans l'intervalle ]0;k[
S.P.G supposons que : a>=b>=c

cas 1: b+c>=a , donc a,b,c sont les cotés d'un triangle ==> (a+b+c)^2<4(ab+ac+bc)
l'inég devient : f(k)= k^2-k(a+b+c)+ab+ac+bc >=0
mais delta= k^2 (a+b+c)^2-4(ab+ac+bc)*k^2= k^2( (a+b+c)^2-4(ab+ac+bc)) < 0 d'ou le résultat

cas 2: b+c<=a , l'inég devient :
f(a)=a(k-(b+c)) + k(b+c)-bc<=k^2
ona : k-(b+c) >= k-a>=0 donc f est croissante
alors : f(a) <= f(k) = k^2-k(b+c)+k(b+c)-bc = k^2-bc<=k^2

REmarque:
8(ay+bx+yc+bz+za+cx)^3 >= 27 ( (a+b)(a+c)(b+c) (x+y)(y+z)(x+z)) est vraie avec la meme condition
A+

remplacant B=k-b A=k-a C=k-c

on trouve que l'inegalité equivalent à k(a+b+c)<k²+ab+bc+ac

on k²/4+ab=(k/2)(k/2)+ab>ka/2+kb/2(reordenement

de meme pour les autres et on trouve que

k²+ab+bc+ac>k(a+b+c)+k²/4>k(a+b+c)

donc l'inegalite est juste

d'apres ma solution on peut remarquer un resultat plus fort

aB+bC+Ac<3k²/4

gaza1 a écrit:

(k/2)(k/2)+ab>ka/2+kb/2

cette ineg n'eest pas juste , car elle équivaut à (2b-k)(2a-k)/4 >=0 ,ce qui n'est pas tjrs vrai

Naoufal et Neutrino les deux sollutions sont bonnes
je vous ajoute une autre :

on pose x=a/k , y=b/k , z=c/k
puisque :
A=k-a , B=k-b et C=k-c avec a,b,c de [0,k] donc x=<1 et y=<1 et z=<1

l inegalité deviend :

xy+yz+zx+1>=x+y+z

<==> S=x(y+z-1)+(y-1)(z-1)>=0

si y+z>=1 donc S>=(y-1)(z-1)>=0

si y+z<1 donc S>=(y+z-1)+(y-1)(z-1)=yz>=0 (car x=<1)

ce qui fini la preuve

A GOOD SOLUTIONS THANK YOU....

neutrino a écrit:

gaza1 a écrit:

(k/2)(k/2)+ab>ka/2+kb/2

cette ineg n'eest pas juste , car elle équivaut à (2b-k)(2a-k)/4 >=0 ,ce qui n'est pas tjrs vrai

oui t'as raison voici une autre solution

on (k-a)(k-b)(k-c)=k^3+k(ab+bc+ac)-k²(a+b+c)-abc>0

donc k^3+k(ab+bc+ac)-k²(a+b+c)>0 donc k²+ab+bc+ac>k(a+b+c)


d'ou la resultat