simplification du (sin de arcsin)

Calculer

Bonjour Samir;
Pour x dans [-Racine(2),Racine(2)] notons f(x)=Racine(2).sin(g(x)) où g(x)=(1/2).arcsin(xRacine(2-x²))
g est dérivable sur ]-1,1[ et g'(x)=1/Racine(2-x²)
donc g à la même dérivée sur ]-1,1[ que la fonction h : x ==> arcsin(x/Racine(2))
et comme g(0)=h(0) on a que g=h au moins sur l'intervalle]-1,1[
ainsi pour tout x de ]-1,1[ on a f(x)=x
L'expression à calculer n'est autre que f(1/2006) (sauf erreurs bien entendu)

Salut !

Bravo elhor_abdelali !

J'arrive au même résultat par une approche légèrement plus directe :

2sin^2(x/2) = 1 - cos(x)
==> 2sin^2(1/2 arcsin(x)) = 1 - cos(arcsin(x)) = 1 - sqrt(1 - x^2)

Si x = sqrt(1/2006^2 + 2005/2006^3 + 2005/2006^4)
==> x = sqrt(2/2006^2 - 1/2006^4)
==> 1-x^2 = 1 - 2/2006^2 + 1/2006^4 = (1-1/2006^2)^2
==> 1 - sqrt(1 - x^2) = 1/2006^2

et donc sqrt(2)sin(x/2) = 1/2006

Il faudrait être un tout petit peu plus rigoureux sur les plages de valeurs (pour les signes des racines).

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Patrick

C'est correct pco !