calcul d'intégrale grâce à la fonction beta

Bonjour à tous,

J'ai une question que je n'arrive pas à résoudre, bien qu'ayant cherché assez longtemps. Je sais qu'il y a quelque chose de basique qui m'échappe...

Il s'agit de calculer une intégrale grâce à la fonction beta.
On me demande de calculer:

intégrale [1 , 4] de (x-1)^2 (4 - x)^3 dx

en utilisant la fonction beta, qui est définie ainsi:
Beta(m,n) = intégrale [0,1] x^(m-1) (1-x)^(n-1) dx

En effet, si j'arrive à exprimer mon intégrale en fonction de beta, alors je peux utiliser le résultat connu qui exprime la fonction beta en termes de fonctions gamma, et le résultat devient facile à calculer.

Je fais le changement de variable u = sqrt(x) - 1, car cela permet de convertir les bornes [1,4] en bornes [0,1].

Cela me donne au final une intégrale équivalente:

intégrale [0,1] de 2 u^2 (1-u)^3 (u+1) (u+2)^2 (u+3)^3 du

les deux premiers facteurs peuvent bien s'assimiler aux facteurs d'une fonction beta, mais je n'arrive pas à transformer les trois derniers facteurs pour que l'ensemble ressemble à beta.

Merci pour votre aide.

x=3u+1 ==> x-1=3u et 4-x= 3(1-u)
==> intégrale [1 , 4] de (x-1)^2 (4 - x)^3 dx
=27² intégrale [0 , 1] de u^2 (1- u)^3 du=27²Beta(3,4)

Vous allez poser la question comment trouve-t-on ce changement de variable?

La réponse est trés simple
La bijection naturelle d'un intervalle [a,b] avec [0,1] est donnée
par x=a+t(b-a) <===> t=(x-a)/(b-a)

Merci beaucoup Monsieur!