intégral !!!!!!

salamou alaykoum
montrer que l'intégrale (de 0 à pi/4) de exp(-tanx) >pi/4(1-1/e)

BSR abdalah !!

Tu devrais étudier les Variations de la fonction :
x ----------> f(x)=exp{-Tan(x)}
sur l'intervalle I=[0;Pi/4]
Celà peut , par des encadrements , te donner ce qu'il faut !!!

plus d'indices ?

abdalah a écrit:

plus d'indices ?

BJR abdalah !!

Avec la méthode que je t'ai suggérée , on arrive à cet encadrement :

{Pi/4e} < INT{ x=0 à Pi/4 ; exp{-Tan(x)}.dx } <Pi/4

Maintenant , ce n'est pas mon dernier mot et si quelqu'un a une autre idée , elle reste la bienvenue ...

Salam
smh liya Mr oeil de lynx si j'ecris une autre reponse apres la tienne :$
je vx juste proposer ma methode

paheli a écrit:

Salam
smh liya Mr oeil de lynx si j'ecris une autre reponse apres la tienne :$
je vx juste proposer ma methode

BJR paheli !!

Bien sûr , la porte est ouverte à toute proposition de réponse venant de tout autre Membre !!
J'ai bien compris ton idée , seulement , il y a une toute petite erreur , comme Pi/4= INT{x=0 à Pi/4 ; 1.dx }
Il faudrait montrer ( est-ce vrai ??? ) que
exp{-Tan(x)} >= {(e-1)/e} pour tout x dans I=[0;Pi/4] ?????

chgt var. x=pi/4 t
l'intégrale (de 0 à pi/4) de exp(-tanx) dx
>=pi/4 l'intégrale (de 0 à 1 ) de exp(-tan(pi/4 t)) dt
>= pi/4 l'intégrale (de 0 à 1 ) de exp(-t) dt= pi/4(1-1/e)

car tan(pi/4 t)=< t tan(pi/4)=t qqs t de [0,1] par convexité de tan

BJR à Toutes et Tous !!

Oh Oui !! Bien vu Mr Attioui !
Belle Démo assez élaborée pour les Terminales et Idée pas évidente à deviner !!

Voilà qui fera plaisir à abdalah !!

PS : J'ai bien essayé la Première Formule de la Moyenne :
Il existe c dans ]0;Pi/4[ tel que
INT { x=0 à Pi/4 ; exp{-Tan(x) }={Pi/4}.exp{-Tan(c)}
J'avais bien mon Pi/4 mais je ne savais quoi faire du exp{-Tan(c)} !!

abdelbaki.attioui a écrit:

chgt var. x=pi/4 t
l'intégrale (de 0 à pi/4) de exp(-tanx) dx
>=pi/4 l'intégrale (de 0 à 1 ) de exp(-tan(pi/4 t)) dt
>= pi/4 l'intégrale (de 0 à 1 ) de exp(-t) dt= pi/4(1-1/e)

car tan(pi/4 t)=< t tan(pi/4)=t qqs t de [0,1] par convexité de tan

Salamou alaykoum
merci pour votre réponse mais je n'ai pas bien compri ceci- si vous pouviez m'éclaircir un peu + ou si ODL ou qqn pouvaient ml'aidez , merci infinment... (et désolé pour le retard... on a terminé les integrales et les structures algébriques... )

BSR abdalah !!

Une fonction f définie sur un intervalle I de IR est dite CONVEXE si :
pour tout a et b dans I et pour tout t dans [0;1] , on a
f(t.a+(1-t).b)<=t.f(a)+(1-t).f(b)

On montre que si f est 2 fois dérivables sur I alors
{f convexe} <=====> {f" est positive sur I }

La fonction f=Tan(.) x -------> Tan(x) est CONVEXE sur [0;Pi/4]
en effet :
pour tout x dans [0;Pi/4]
f'(x)=1+Tan^2(x) et f''(x)=2.Tan(x).{1+Tan^2(x)}
f" est donc positive sur [0;Pi/4]
Il en résulte que l'on peut écrire l'Inégalité de convexité pour f en prenant a=Pi/4 et b=0
donc f(t.Pi/4+(1-t).0) <=t.f(Pi/4)+(1-t).f(0)
ici ce sera donc Tan(t.Pi/4) <=t. puisque f(pi/4)=1 et f(0)=0 .

oui merci j'ai essayer de m'adapté à comprendre mais cette inégalité de convexité de fonction je pense pas l'avoir déja étudié...
sinon autrement on peut pas le demontrer en profitant de cette propriété (ou théoreme) par exemple es ce que si une fonction est convexe elle n'a pas d'asymptote ?
ou comment démontrer ceci :
Une fonction f définie sur un intervalle I de IR est dite CONVEXE si :
pour tout a et b dans I et pour tout t dans [0;1] , on a
f(t.a+(1-t).b)<=t.f(a)+(1-t).f(b)

et es ce que t appartient forcément à 0,1 non R pourquoi ?
merci bcp ODL

Re-BSR abdalah !!!

Si la notion de CONVEXITE t'intéresse , tu peux consulter ce lien ou celà est expliqué avec force dessins géométriques ...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_convexe

Bonne découverte !!!

شكرا جزاكم الله خيرا