On peut supposer alpha=a >0 , on pose p=\pi.
soit f(z)=cos(az)/(z²+a²) . Considérons C le demi cercle de rayon R>a et de centre 0. Alors f est holomorphe sur l'intérieur de C sauf en ia qui est un pôle simple. D'aprés le théorème des résidus on a alors
(int sur C)f(z)dz=2ip R(f,ia)= 2ip cos(ia²)/2ia =p cos(ia²)/a
D'autre part,
(int sur C)f(z)dz= (int de -R à R)f(x)dx+(int de 0 à p) f(Re^(it))iRe^(it)dt
Donc (int de -00 à +00)f(x)dx=p cos(ia²)/a
Donc l'intégrale vaut : p cos(ia²)/2a = pch(a²)/2a
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