exo pur les olympiades

monter que pour tous x et y de IR positifs qe
(x+y)/(1+x²+y²)=<1/V2

on doit montrer que :



on a : (x-y)²>=0 donc 2(x²+y²)>=(x+y)²

donc :



et on a :



donc :

ou bien en une ligne :

merci pour exo ...

x²-2*x*1/V2 +1/2=(x-1/V2)²
alors x²-2*x*1/V2 +1/2≥0
alors x²-V2x+1/2≥0 d'où x²+1/2≥V2x (1)
la meme chose pour y : y²+1/2≥V2y (2)
de (1) et (2) on a x²+y²+1/2+1/2≥V2x+V2y
alors x²+y²+1≥V2(x+y)
alors (1+x²+y²)/(x+y)≥V2 (x et y sont positifs)
et finalement (x+y)/(1+x²+y²)≤1/V2
bienvenu sur le forum

voila un autre exo
حدد عدد مضاعفات 4 المحصورة بين 10² و
10^10

woooooooooooh c trop!!!! y a des miliers de de 4 entre 10² et 10^10

( 25 * 10 ^ 8 ) - 25

slt merci pour l exo et bienvenue dans le forum:
cette inegalite est trivial car elle est equivalente a:

(x-y)²+(1-2xy)²/(x+y)>=0 ce qui est juste
A+

slt hunter pour ton exo j ai fais une demonstration mais je suis pas sur si c vrai ou non:
3adad ala3dad almawjoda bayna 10^10 et 10² hiya:
10^10-10²
idan 3adad ala a3dad al moda3afa li 4 hiya:
(10^10-10²)/4
<==>2499999975
et puisque 100 moda3af li 4 alors 3adad moda3afat hiya;
2499999976

svp qq pour dire si c vrai ou nn

merci pour les reponses

une petite questions
comment pouvais-je entrer des images dans ma reponse?

xyzakaria a écrit:

slt hunter pour ton exo j ai fais une demonstration mais je suis pas sur si c vrai ou non:
3adad ala3dad almawjoda bayna 10^10 et 10² hiya:
10^10-10²
idan 3adad ala a3dad al moda3afa li 4 hiya:
(10^10-10²)/4
<==>2499999975
et puisque 100 moda3af li 4 alors 3adad moda3afat hiya;
2499999976

svp qq pour dire si c vrai ou nn

ouiiii zakaria c juste...meme resultat que j'ai trouvé
mais je crois que pour anass il a une p'tite erreur il a oublié d'ajouter 1 à son resultat
mais cette methodes et valable si 3adad ala3dad almawjoda ta9bal al9isma 3ala 4 sinon faut ajouter 1 à lkharij
par exemple le nombre de multiples de 4 entre 13 et 32
32-13=19
19/4=4.75 alors on enleve la decimale et on ajoute 1
alors le nombre de multiple entre 13 et 32 est 4+1=5

voici un exo

ohsob
1+2+4+8+16....+2097152

salut a tout ,
montre que , qu'ils soit x et y du groupe R , il as:


2( x^2/y^2 + y^2/x^2 )– 3( x/y+ y/x )+ 6 >0

2( x^2/y^2 + y^2/x^2 )– 3( x/y+ y/x )+ 6 >0
mais c banal

Ayoub Mh a écrit:

salut a tout ,
montre que , qu'ils soit x et y du groupe R , il as:


2( x^2/y^2 + y^2/x^2 )– 3( x/y+ y/x )+ 6 >0

mais pk t'as fais 0
on peut demontrer que
2( x^2/y^2 + y^2/x^2 )– 3( x/y+ y/x )+ 6 ≥4
en fait x^2/y^2 + y^2/x^2 >2
alors 2( x^2/y^2 + y^2/x^2 )≥4
et 3( x/y+ y/x )≥6
alors 2( x^2/y^2 + y^2/x^2 )– 3( x/y+ y/x )+ 6≥4
d'où 2( x^2/y^2 + y^2/x^2 )– 3( x/y+ y/x )+ 6 >0
je crois pas que c'est un exos d'olympiades

kirua a écrit:

voici un exo

ohsob
1+2+4+8+16....+2097152

prenons S=1+2+4+8+16....+2097152
alors 2S=2+4+8+16....+2097152+2x2097152
donc 2S=2+4+8+16....+2097152+4194304
alors 2S-S=4194304-1
d'où S=4194303

donc tu peut m'aider montre le plz

bien joue ajdolin

Ayoub Mh a écrit:

donc tu peut m'aider montre le plz

OUI BIEN SUR ....
il ne faut qu'utiliser l'identité remarquable a²+b²-2ab≥0
(x/y)²-2(x/y)(y/x)+(y/x)²=(x/y-y/x)²
alors x²/y²-2x/y*y/x+y²/x²≥0
d'où x²/y²-2+y²/x²≥0
alors x²/y²+y²/x²≥2
donc 2(x²/y²+y²/x²)≥4 (1)
-----------------------------------------------------------------
√(x/y)² -2√(x/y)√(y/x)+√(y/x)²=(√(x/y)-√(y/x))²
alors √(x/y)² -2√(x/y*y/x)+√(y/x)²≥0
d'où x/y-2+y/x≥0
alors x/y+y/x≥2
3(x/y+y/x)≥6 (2)
de (1) et (2) on a:
2(x²/y²+y²/x²)≥4
et 3(x/y+y/x)≥6
alors 2(x²/y²+y²/x²)-3(x/y+y/x)≥-2
d'où 2( x^2/y^2 + y^2/x^2 )– 3( x/y+ y/x )+ 6 ≥-2+6
alors 2( x^2/y^2 + y^2/x^2 )– 3( x/y+ y/x )+ 6 ≥4
alors 2( x^2/y^2 + y^2/x^2 )– 3( x/y+ y/x )+ 6 >0
bienvenu sur le forum ayoub

mais tu dois ajouter à ton exos ayoub que c'est pour tout x et y de R
non nuls

exo de kirua,
utilise cette identité,
1+2+2^2+2^3+...2^n= 2^{n+1}-1 et en generale
1+a+a^2+a^3+...a^n= (a^{n+1}-1)/(a-1)