une ptt inégalite de ma creation

salam voici une inegalite(de ma creation)peut etre qu il est trivial mais au moin j ai essayer :

(a,b,c)£[0;1[ TQ ==> a+b+c=1 MQ:

(a²+b²+c²)/(a-1)²+(a²+b²+c²)/(b-1)²+(a²+b²+c²)/(c-1)²>=9/4

<==>a²+b²+c²>=1/3

je sais pas ce que tu veux dire, mais bon, je crois que tu devais changer l'ordre des deux, (juste une remarque )
2)-(a-1/3)²+(b-1/3)²+(c-1/3)² >=0
<=> a²+b²+c²-2/3(a+b+c)+1/3>=0
<=> a²+b²+c²>=1/3 avec égalité si a=b=c=1/3
3)-(a²+b²+c²)/(a-1)²+(a²+b²+c²)/(b-1)²+(a²+b²+c²)/(c-1)²
=(a²+b²+c²)/(b+c)²+(a²+b²+c²)/(a+c)²+(a²+b²+c²)/(a+b)²
= sum{[a/(b+c)]²} + sum{[(b²+c²)/(b+c)²]}
on sait que a²+b²>=1/2(a+b)² <=> a²+b²/(a+b)²>=1/2
alors, sum{[(b²+c²)/(b+c)²]} >= 3/2 (1)
et on a, sum{[a/(b+c)]²} >= 1/3(sum{[a/(b+c)]})² (C.S)
et puisque sum{[a/(b+c)]} >= 3/2 (facile a prouver)
alors, sum{[a/(b+c)]²} >= 3/4 (2)
en sommant (1) et (2) on verifie directement ce qui est voulu, (egalité si a=b=c)
P.S: je vois que tu aimes bcp les inegos, je t'offre celle-ci.
prouver pour tous reel positive x,y,z avec xyz=1 que:
x^n/y+z + y^n/z+x + z^n/x+y >= 3/2.

oki merci bp mathmaster pour ton inego je dois partir mnt et apres je vais voir. et pour (a²+b²+c²)/(a-1)²+(a²+b²+c²)/(b-1)²+(a²+b²+c²)/(c-1)²>=9/4
j ai utiliser AM-HM et QM-AM
vraiment t a raison dans les maths j adore les inegos est la divisibilite et des trucs comme ca (et je suis nul dans la geo.....)

mathsmaster a écrit:

je sais pas ce que tu veux dire, mais bon, je crois que tu devais changer l'ordre des deux, (juste une remarque )
2)-(a-1/3)²+(b-1/3)²+(c-1/3)² >=0
<=> a²+b²+c²-2/3(a+b+c)+1/3>=0
<=> a²+b²+c²>=1/3 avec égalité si a=b=c=1/3
3)-(a²+b²+c²)/(a-1)²+(a²+b²+c²)/(b-1)²+(a²+b²+c²)/(c-1)²
=(a²+b²+c²)/(b+c)²+(a²+b²+c²)/(a+c)²+(a²+b²+c²)/(a+b)²
= sum{[a/(b+c)]²} + sum{[(b²+c²)/(b+c)²]}
on sait que a²+b²>=1/2(a+b)² <=> a²+b²/(a+b)²>=1/2
alors, sum{[(b²+c²)/(b+c)²]} >= 3/2 (1)
et on a, sum{[a/(b+c)]²} >= 1/3(sum{[a/(b+c)]})² (C.S)
et puisque sum{[a/(b+c)]} >= 3/2 (facile a prouver)
alors, sum{[a/(b+c)]²} >= 3/4 (2)
en sommant (1) et (2) on verifie directement ce qui est voulu, (egalité si a=b=c)
P.S: je vois que tu aimes bcp les inegos, je t'offre celle-ci.
prouver pour tous reel positive x,y,z avec xyz=1 que:
x^n/y+z + y^n/z+x + z^n/x+y >= 3/2.

vraiment belle inego j ai arriver facilement avec n=1 mais avec n....

allezzzz les TC aucune reponse!!!! je crois qu elle n est pas difficile.

allez je vois que vous blokéz ici , je vous donne un coup d pouce :

utiliser Holder de cette facon :

((x+y)+(y+z)+(z+x))(1+1+1)^{n-2)(x^n/y+z+y^n/z+x+z^n/x+y)>=(x+y+z)^n

à vous de continuer mntnt

xyzakaria a écrit:

salam voici une inegalite(de ma creation)peut etre qu il est trivial mais au moin j ai essayer :

(a,b,c)£[0;1[ TQ ==> a+b+c=1 MQ:

(a²+b²+c²)/(a-1)²+(a²+b²+c²)/(b-1)²+(a²+b²+c²)/(c-1)²>=9/4

<==>a²+b²+c²>=1/3

oui ellé trivial car pr tt a,b et c de R+ , (1+1+1)(a²+b²+c²)>=(a+b+c)²

donc a²+b²+c²>=1/3

pas la peine d ajouter la contrainte

si ta question etait de prouver celle la :

(a²+b²+c²)(1/(1-a)²+1/(1-b)²+1/(1-c)²)>=9/4

ellé facile mé pas trivial :

puisque a²+b²+c²>=1/3 il sufft de montrer que :

1/(1-a)²+1/(1-b)²+1/(1-c)²>=27/4

ce qui é simple avc jensen puis que x |---> f(x)=1/(1-x)² est une fonction convexe

donc 1/(1-a)²+1/(1-b)²+1/(1-c)²>=3/(1-(a+b+c)/3)²=27/4

pr un essai c bien fallé juste fixer quelques idees

oui merci memath mais pour (a²+b²+c²)/(a-1)²+(a²+b²+c²)/(b-1)²+(a²+b²+c²)/(c-1)²>=9/4 j ai une belle preuve avec AM-HM et une autre sans theoreme.

svppppp memath j ai besoin d une petite explication de cette inegalite de holder car elle me parait tres utile(stp essaye de me donner une explication facile!!!!!!lol)

ok voila un exemple simple de Holder avec 2 variables.
en fait c seulement une generalisation de cauchy shwartz ;

(a1^n+b1^n)(a2^n+b2^n)....(an^n+bn^n)>=(a1*a2*..*an+b1*b2*..*bn)^n

ca c pr deux variables , la mm idee est valable pr n variables

vraiment merci bppppp pour ton effort

memath a écrit:

xyzakaria a écrit:

salam voici une inegalite(de ma creation)peut etre qu il est trivial mais au moin j ai essayer :

(a,b,c)£[0;1[ TQ ==> a+b+c=1 MQ:

(a²+b²+c²)/(a-1)²+(a²+b²+c²)/(b-1)²+(a²+b²+c²)/(c-1)²>=9/4

<==>a²+b²+c²>=1/3

oui ellé trivial car pr tt a,b et c de R+ , (1+1+1)(a²+b²+c²)>=(a+b+c)²

donc a²+b²+c²>=1/3

pas la peine d ajouter la contrainte

si ta question etait de prouver celle la :

(a²+b²+c²)(1/(1-a)²+1/(1-b)²+1/(1-c)²)>=9/4

ellé facile mé pas trivial :

puisque a²+b²+c²>=1/3 il sufft de montrer que :

1/(1-a)²+1/(1-b)²+1/(1-c)²>=27/4

ce qui é simple avc jensen puis que x |---> f(x)=1/(1-x)² est une fonction convexe

donc 1/(1-a)²+1/(1-b)²+1/(1-c)²>=3/(1-(a+b+c)/3)²=27/4

pr un essai c bien fallé juste fixer quelques idees

sinon C.S,
(a²+b²+c²)(sum{1/(1-a)²} >= (sum {a/(1-a)})²=(sum{a/(b+c)})²>=9/4.

et pour ma solution:
je pose A=(a²+b²+c²)[1/(1-a)²+1/(1-b)²+1/(1-c)²]
et B=9/[((a-1)²+(b-1)²+(c-1)²)/(a²+b²+c²)]
on a d apres AM-HM:
A>=B
==> mnt je vais prouver ke B>=9/4:
<==>(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²=<4(a²+b²+c²)
<==>1<=3(a²+b²+c²)
<==>1/3<=a²+b²+c²......
A+et merci mathmaster et memath

xyzakaria a écrit:

salam voici une inegalite(de ma creation)peut etre qu il est trivial mais au moin j ai essayer :

(a,b,c)£[0;1[ TQ ==> a+b+c=1 MQ:

(a²+b²+c²)/(a-1)²+(a²+b²+c²)/(b-1)²+(a²+b²+c²)/(c-1)²>=9/4

<==>a²+b²+c²>=1/3

triviale et plus faible que iran96


ton inég ma inspiré pr crrer celle ci , facile comme mm :

a,b,c<=1 a+b+c=1 , donc:
(a²+b²+c²)/(a-1)²+(a²+b²+c²)/(b-1)²+(a²+b²+c²)/(c-1)² >= 27/4 *(2 (a^3+b^3+c^3-a^2-b^2-c^2) +1-6abc)

neutrino a écrit:

xyzakaria a écrit:

salam voici une inegalite(de ma creation)peut etre qu il est trivial mais au moin j ai essayer :

(a,b,c)£[0;1[ TQ ==> a+b+c=1 MQ:

(a²+b²+c²)/(a-1)²+(a²+b²+c²)/(b-1)²+(a²+b²+c²)/(c-1)²>=9/4

<==>a²+b²+c²>=1/3

triviale et plus faible que iran96


ton inég ma inspiré pr crrer celle ci , facile comme mm :

a,b,c<=1 a+b+c=1 , donc:
(a²+b²+c²)/(a-1)²+(a²+b²+c²)/(b-1)²+(a²+b²+c²)/(c-1)² >= 27/4 *(2 (a^3+b^3+c^3-a^2-b^2-c^2) +1-6abc)

au moin j ai essayer

ach dana et chi iran96, la différence kbiiiiiira

lol hanta katchoff!!

mathsmaster a écrit:

ach dana et chi iran96, la différence kbiiiiiira

comme : (a-1)^2=(b+c)^2.. , l'inégalité de xyzakariae equivaut à :
1/(b+c)^2 + 1/(a+c)^2 + 1/(a+b)^2 >= 9/4(a^2+b^2+c^2) mais on c bien d'après Iran96 : 1/(b+c)^2 + 1/(a+c)^2 + 1/(a+b)^2 >= 9/4(ab+ac+bc)...

moi je sais pas cette iran96 j ai seulement essayer;oui peut etre qu elle est trivial mais c pas copier coller de iran....

wi neutrino, mais prouver l'inegos de zakaria est bcp plus facile que prouver celle de iran 96.

la prochaine fois essayez de bien lire ce que j'ai ecris avant de répondre..

ok monsieur

slt , oubliez iran c une inego - 18 ans

pour neutrino : tres belle ton inego et voici ma soluce for it :

on a par AM-GM :



par suite :



et je vous laisse le soin de continuer

loll nn seulement 12 ans