Bonjour,
Je suis encore étonné. Cela ne me semble pas être un problème d'olympiades. Il y a en général une infinité de solutions, toutes très "tarabiscotées" :
1) Pour n = 0 : pas de solution (évidemment)
2) Pour n = 1 : f(x) = -x (évidemment)
3) Pour n = 2 : une infinité de solutions, toutes impaires
Forme générale :
Soit une partition de R+* en deux ensembles équipotents A et B et g une bijection de A dans B.
Soit h(x) une fonction quelconque de A dans {-1, +1}
f est définie ainsi :
x = 0 : f(x) = 0
x dans A : f(x) = g(x)h(x)
x dans B : f(x) = - g^[-1](x) h(g^[-1](x))
x < 0 : f(x) = -f(-x)
C'est la forme générale en ce sens que toute fonction de cette forme est solution de f(f(x))=-x et que réciproquement toute solution de f(f(x))=-x peut se mettre sous cette forme.
4) Pour n = 3, une infinité de solutions, toutes impaires, légèrement plus complexe pour tenir compte des cas f(x)=-x :
Soit une partition de R+* en quatre ensembles A, B, C, D, les trois premiers étant équipotents
Soit ga une bijection de A dans B
Soit gb une bijection de B dans C
Soit h1 une fonction de A dans {-1,+1}
Soit h2 une fonction de B dans {-1,+1}
Soit k(x) la fonction de R* dans A :
si |x| dans A k(x) = |x|
si |x| dans B k(x) = ga^[-1](|x|)
si |x| dans C k(x) = ga^[-1](gb^[-1](|x|))
si |x| dans D k(x) = |x|
f peut se définir ainsi :
si x = 0 : f(x) = 0
si x dans A : f(x) = h1(x) ga(x)
si x dans B : f(x) = h1(k(x)) h2(x) gb(x)
si x dans C : f(x) = - h1(k(x)) h2(ga(k(x))) k(x)
si x dans D : f(x) = -x
si x < 0 : f(x) = -f(-x)
etc ... en étendant ces deux approches en fonction de la parité de n.
Bien sûr, la plupart de ces fonctions sont discontinues, mais l'exigence de continuité n'est pas dans l'énoncé.
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Patrick,
étonné,
et qui serait intéressé par la référence du problème ou la solution de Kalm si c'est un problème inventé par Kalm
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