olympiades de mathematiques

trouver toutes les applications f de IR vers IR vérifiant
f(x²+y)=f(x)+f(y²) puor tout x et tout y de IR

bonne chance mes amis

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pour x=y=0 on a f(0)=2f(0) donc f(0)=0.
pour tout x réel , pour y=0 on a f(x)=f(x^2) , donc f(x)=f(x^2)=f(x^4)...
pour tout x réel , pour y= -x^2 , on a f(x^2-x^2)=f(x)+f((x^2)^2)
donc f(0)=f(x)+f(x^4)
f(0)=0 implique que f(x^4)= - f(x)
on en déduit que f(x^4)=f(x)= -f(x)
donc 2f(x)=0 donc f(x)=0 et ceci pour tout x réel.
donc f=0
inversement la fonction nulle vérifie l'équation foncitonnelle.
conclusion : la solution est La fonction nulle

merci mon ami methenniachref