olympiades de mathematiques 1999

trouver toutes les fonctions f de IR vers IR telles que :
xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y) puor tout x et tout y de IR

bonne chance mes amis

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pour x=y=1 on a 2f(1)=2f(1)^2 , donc f(1)*(f(1)-1)=0
donc f(1)=1 ou f(1)=0.
de plus pour tout x réel , pour y=1 on a
x*f(1)+f(x) =(x+1)*f(1)*f(x)
[si f(1)=0 alors on obtient 0+f(x)=0 donc f(x)=0 pour tout x réel]
[si f(1)=1 on obtient x+f(x)=(x+1)*f(x)=x*f(x)+f(x)
donc x=x*f(x) , si x non nul alors f(x)=1
pour x=0 , f(0)=1*f(1)*f(0) , donc f(0) est quelconque.]
donc ou bien f est la fonction nulle, ou bien f est égale à 1 sur R* et f(0) est quelconque
inversement la fonction nulle vérifie l'équation fnct
et si f est égale à 1 sur R* , f(0) quelconque alors f vérifie aussi.
conclusion : les solutions de l'équation sont EXACTEMENT la fonction nulle et toute fonciton égale à 1 sur R* .

salam

f(x) = 0 solution évidente

supposons f non nulle : il existe a tel que f(a) = b # 0

xf(a) + af(x) = ( x+a) .f(x).f(a)

f(x).[bx + ba - a] = bx =====> f(x) = (bx) / (bx+ba-a)

f homographique.

.

houssa a écrit:

salam

f(x) = 0 solution évidente

supposons f non nulle : il existe a tel que f(a) = b # 0

xf(a) + af(x) = ( x+a) .f(x).f(a)

f(x).[bx + ba - a] = bx =====> f(x) = (bx) / (bx+ba-a)

f homographique.

.

salut Mr houssa !!!

c'est bien Mr houssa MAIS:

posons y=-x: on prouve que f(-x)=f(x) d'où la parité de f sur IR.

revenons à votre solution:

on a: xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y).

posons que x=y=a:

2af(a)=2a(f(a))² ==> 2ab=2ab² ==> a=0 ou b=0 ou b=1

==>b=1 puisque a est arbitraire!!!

donc f(a)=1.

alors: les solution totales COMME Mr methenniachref indiqué sont:

f(x)=0 et f(x)=1.
et merci
___________________________________________________________________________
lahoucine

salam lahoucine

merci de compléter ma réponse inachevée

mais encore : a est arbitraire ......c'est un peu genant

plutôt utiliser la parité en particulier f(-1) = f(1)

=====> ab=a

===> f(x) = bx/bx = 1

conclusion : f(x) =0 ou f(x) =1

..

salam à tous !!!

Pas de quoi Mr houssa !!

juste D'une autre part:

on ne peut pas parler de la continuité en 0...

ben pour les solutions indiqués sont valables sur IR*.

donc il faut trouver f(0)?.?

et merci.
___________________________________________________________________
lahoucine

salam lahoucine

tu as raison bx/bx = 1 pour x # 0

je pense que f(o) peut être qcq

donc les solutions peuvent être résumé en deux formes


f(x) = 0 sur IR

f(x) = 1 pour x # 0 et f(0) = k ===> çà marche.

.

f(x)=1/x fin nsitoha
awla

issam erriahi a écrit:

f(x)=1/x fin nsitoha
awla

salam issam;)!!!

"hadik makaynach" l'equation fonctionnelle qui peut satisfaire cela c'est:

yf(x) + xf(y) = (x²+y²)f(x)f(y)... c'est pas yf(x)+xf(y)=(x+y)f(x)f(y).!!!

"hadi mn jiha" et d'autre part:

f(x)= 1/x n'est pas definie de IR dans IR mais de IR*-->IR* ....

et merci
_____________________________________________________________________
lahoucine

oui lahoucine j'ai comprée
merci

voilà ma solution

merci

red_mot a écrit:

voilà ma solution

merci

Bonjour,

Vous ne pouvez conclure que les solutions sont f(x)=0 pour tout x ou f(x)=1 pour tout x directement à partir de 2xf(x)=2xf(x)^2.

Par exemple, la fonction caractéristique de Z répond à cette équation (2xf(x)=2xf(x)^2), bien que ne répondant pas à l'équation initiale).

Ce que vous pouvez conclure directement, c'est : Pour tout x non nul, f(x) vaut 0 ou 1.

Il faut alors poursuivre le raisonnement (regardez la solution - correcte - déjà postée).

--
Patrick