olympiades de mathematiques 1999

trouver tout les entiers naturels x et y tels que
x-y=x²+xy+y²

bonne chance

x-y=x²+xy+y²
x-y=(x-y)²+3xy
(x-y)(1-x+y)=3xy
on a x-y=x²+xy+y²
et puisque x et y sont de IN alors x-y≥0
on a
(x-y)(1-x+y)=3xy
on sait que 3xy≥0
alors (x-y)(1-x+y)≥0
on a x-y≥0
alors 1-x+y≥0
1-(x-y)≥0
alors
1≥x-y
alors x-y≤1
idan alfar9 bayna x wa y asghar min aw yossawi 1
et puisque x et y de IN tel que x≥y
alors x-y=1 ou x-y=0
y=x-1 ou x=y
le premier cas c x=y
on x-y=x²+xy+y²
alors x-x=x²+x²+x²
3x²=0
alors x=0 et y=0
le deusieme cas c y=x-1
on a x-y=x²+xy+y²
alors x-(x-1)=x²+x(x-1)+(x-1)²
x-x+1=x²+x²-x+x²-2x+1
1=3x²-3x+1
3x²-3x=0
alors 3x(x-1)=0
d'où x=1
on a x-1=y
alors y=0
-----------------------------------------------
alors les solutions sont S={(0,0);(1,0)}

merci mon ami majdouline

lol mon amie lol.

salam

plus rapide : considérons l'équation du second degré en Y:

Y² + (x+1)Y +x²-x = 0

si les solutions existent ====> delta >=0

donc : (x+1)² -4(x²-x) >= 0 ======> -3x² + 6x + 1 >= 0

x' = 1+2/V3 et x" = 1-2/V3 ======> x" < x < x' =====> x € {0,1,2}

si x=0 ====> y=0

si x=1 ====> y= 0 ou y=-2

si x=2 ====> y=-1 ou y=-2
-----------------------------donc mieux solutions dans Z.

.

remarque:
on peut prolonger cette equation à l'équation suivante:
x-y=x²+nxy+y² (n de Z tel que n≥-2)
enfin quoi que ça soit n de Z tel que n≥-2
l'equation x-y=x²+nxy+y² a les solutions suivantes dans IN : S={(0,0);(1,0)}

merci mon ami houssa
solutions facile