VMO inequality

SOIT X,Y,z DES NOMBRES R2ELS TEL QUE:
M Q :

je crois qu'il y a une erreur en effet si on prend x=y=-z=race(3)
on 3+3+3=9
et 6race(3)+3race(3)>10

reprend ton calcul

désolé

essaye de chercher la solution et n'essaye pas de chercher les erreurs parce qu'il n y a pas d'erreur

slt , je vois que cette inegalité est faible face à cette lemme :

pr tt reels a,b, et c tel que a²+b²+c²=2



Preuve

par cauchy shwartz :





avec t=bc=<(b²+c²)/2=(2-c²)/2=<1

et enfin en a :



la lemme est prouvé .

mainetnant posons :



on a : a²+b²+c²=2 et l inegalité deviend :



et d apres la lemme :



car une simple etude des cas nous permet de supposer que abc>=0
(à continuer apré)

une autre question: déterminer le cas d'égalité

memath a écrit:

slt , je vois que cette inegalité est faible face à cette lemme :

pr tt reels a,b, et c tel que a²+b²+c²=2



Preuve

par cauchy shwartz :





avec t=bc=<(b²+c²)/2=(2-c²)/2=<1

et enfin en a :



la lemme est prouvé .

mainetnant posons :



on a : a²+b²+c²=2 et l inegalité deviend :



et d apres la lemme :



car une simple etude des cas nous permet de supposer que abc>=0
(à continuer apré)

je continue :

jé montré l inegalité pr abc>0 maintenant pour abc<0

mntnt supposons que a=<b=<c .

il est clair que :

cas 1 : c<0 ;

donc :



cas 2 : a<0=<b=<c ;

par l inegalité de cauchy shwartz on trouve : 2b+2c-a=<9

donc :

donc il suffit de prouver que :



mais puisque a<0 et 2bc=<b²+c²=9-a²

donc il suffit de montrer que :



qui equivaut :



ce qui fini la preuve .

egalité si et seulement si : a=-b/2=-c/2=-1 et cyclique permutation.

(sauf erreur)

soit abs(x)= max ( abs(x),abs(y),abs(z)) >= sqrt(3)

2(x+y+z)-xyz=2 ( x(1-yz/2 ) +y+z)
<= 2sqrt{ (x^2+(y+z)^2) ( (1-yz/2)^2 +1)}
<= 2sqrt{ (9+2yz)( (1-yz/2)^2 +1)
soit t= yz
t <= (y^2+z^2)/2 = ( 9-x^2)/2 <= 3
il suffit de MQ : 25 >= (9+2t)( (1-t/2)^2+1) <=> (2+t)^2(7-2t)>=0

malgré que la soluce de memath est longue elle est jolie , je crois que l'idée d'introduire un autre problem est originale