Inequality

Soit , et des réels strictement positifs tel que
Prouver que :

Personne
C'est facile pourtant...

King a écrit:

Soit , et des réels strictement positifs tel que
Prouver que :

bonsoir ....
lemme :
soit a b et c des réels positifs avec a+b+c=1 , on a :

preuve du lemme:

Spoiler:

par symétrie des rôles supposons que :a≥b≥c
en considérant la fonction: f(x)=9x²-31x , f'(x)=18x-31 ===>f est d décroissante sur [0,1]

et on a :

ainsi on appliquant l'inégalité de Chebyshev ,il suffit de montrer que :

ce qui est déjà prouvé par le lemme...
............

Pour une démonstration plus simple au lemme utilisé :
On pose :

L'inégalité équivaut à :

D'après l'inégalité de Schur pour :

Donc :

Salut tout le monde
Elle est tres jolie la solution de majdouline BRavoo!!
j'aimerai bien poster une autre solution un peu analytique
on pose r+1=p et ab+bc+ac=q et ;abc=r
Linégalité équivaut a:

Il est facile de vérifier que LHS=2pq-2p²+3p-q
et que :
Il s'ensuit que l'inégalité devient équivalente à :

Appliqaunt Schur on trouver que 9p>=4q+8 alors il suffit de montrer que :

Or :
Or g(p) est négative pour tt p>=1 IL s'ensuit que f'(p) est négative
DOnc on déduit que f(p) atteint son min lorsque p atteint son max
ce qui acheve la preuve
vu que le max de p est atteind lorsque a=b=c
enfin sauf erreur