Petite inéglité

a,b,c £ [0,+00[ tel que c<a+b

montrer que:

c/(1+c) < a/(1+a) + b/(1+b)

il y a plusieurs méthodes la plus facile et triviale c'est de réduire au même dénominateur et faire la soustraction

samix a écrit:

a,b,c £ [0,+00[ tel que c<a+b
montrer que:
c/(1+c) < a/(1+a) + b/(1+b)

BJR à Toutes et Tous !!
J'ai déjà vu celà , il n'y a pas longtemps sur le Forum .....
Je t'y apporte une réponse recherchée !
Voià , tu considères l'application suivante :

x --------> f(x)={x/(1+x)} de [0,+00[ dans [0,1[
elle est définie et continue , dérivable et sa dérivée vaut
f'(x)=1/(1+x)^2 pour tout x dans [0,+00[
La fonction f est donc strictement croissante , par suite si a,b et c sont postifs et c <a+b alors
f(c)<f(a+b) soit c/(1+c) < (a+b)/{1+a+b}=a/{1+a+b}+b/{1+a+b}
et puisque 1+a+b >1+a et 1+a+b >1+b , on concluera par deux majorations que : c/(1+c) < a/{1+a}+b/{1+b}
qui s'écrit aussi f(c) < f(a)+f(b) (*)

Cette Propriété (*) vérifiée par f s'appelle la Sous-Additivité .

Bonne Journée !!

oué facile
on doit montrer que
c/(1+c) < a/(1+a) + b/(1+b)
-----------------------------------------------------------------------
on a
c<a+b et puisqu'il s'agit de a b et c des nombres positifs:

c<a+b+2ab
c+ac+bc<a+b+2ab+ac+bc
c+ac+bc+abc<a+b+2ab+ac+bc+2abc
c(1+a+b+ab)<a+b+2ab+c(a+b+2ab)
c(1+a)(1+b)<(a+b+2ab)(1+c)
c/(1+c)<(a+b+2ab)/(1+a)(1+b)
c/(1+c)<(a+ab+b+ba)/(1+a)(1+b)
c/(1+c)<a(1+b)+b(1+a)/(1+a)(1+b)
c/(1+c)<a(1+b)/(1+a)(1+b) + b(1+a)/(1+a)(1+b)
c/(1+c)< a/(1+a) + b/(1+b)

voila ce que j'ai fait moi

on a :
a/(1+a) + b/(1+b) > c/(1+c)
a/(1+a) + b/(1+b) - c/(1+c) > 0
[ a(1+b)(1+c) + b(1+a)(1+c) - c(1+b)(1+a) ] /(1+a)1+b)1+c)>0
(a+ac+ab+abc+b+bc+ab+abc-c-ac-bc-abc)/(1+a)(1+b)(1+c) > 0
(a+b+2ab-c+abc)/(1+a)(1+b)(1+c)>0

on sait que : c<a+b
d'ou a+b+2ab-c+abc>0
et que (1+a)(1+b)(1+c)>0
d'ou a/(1+a) + b/(1+b) > c/(1+c)

voici ce que j'avais fais moi
c/(1+c)<a/(1+a)+b/(1+b)
donc on doit prouver que
a/(1+a)+b/(1+b)-c/(1+c)>0
a/(1+a)+b/(1+b)-c/(1+c)=(a+ab+ac+abc+b+bc+ab+abc-c-ac-bc-abc)/(1+a)(1+b)(1+c)
et on sait que 1+a)(1+b)(1+c)>0
donc
a+ab+ac+abc+b+bc+ab+abc-c-ac-bc-abc=a+ab+abc+b+ab-c
=a+2ab+abc+b-c
et on sait que c<a+b
et a,c,b>0
donc c<a+b+2ab+abc
donc
a+b+2ab+abc-c>o
alors

a/(1+a)+b/(1+b)-c/(1+c)>0
et enfin:

c/(1+c)<a/(1+a)+b/(1+b)