nombres complexe

je me suis bloqué sur cet exercice car on vien de terminer la premiere partie des nombres complexes et notre professeur n'a pas cité les regles concernant les triangles

1/ montrons que ABC est un triangle equilateral si
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

2/montrons que ABC triangle isocele en A si
(a-b)(bbar-cbar)_(c-b)(abar-cbar)=0

3/montrons que ABC REctangle en A si
(a-b)(abar-cbar)+(a-c)(abar-bbar)=0

commençons par les choses les plus facile :
3/ (a-b)(abar-cbar)+(a-c)(abar-bbar)=0
=> (a-b)(abar-cbar)=-(a-c)(abar-bbar)
=> (a-b)/(a-c)=-(abar-bbar)/(abar-cbar)
=>(a-b)/(a-c)={(a-b)/(c-b)}bar
=>(a-b)/(a-c) appartien a iR
=>arg(a-b)/(a-c)=pi/2(modulo)pi
=>ABC REctangle en A

salam

pour 1) exprimer AB=AC et (AC,AB) = pi/3 (ou -pi/3, choisir un sens )

on Pose Z = (b-a)/(c-a)

====>|Z|= 1 et argZ= pi/3 ====> Z = e^(i.pi/3) =t

====> b-a=(c-a).t ====> (b-a)² = (c-a)².t²

de même on obtient: (c-b)²=(a-b)².t² et (a-c)²=(b-c)².t²


la somme :

S = (b-a)²+(c-b)²+(a-c)² = t².[ (c-a)²+(a-b)²+(b-c)² ] = t².S

====> (1-t²).S= 0 comme t² # 1 ===> S=0


.

encore pour 2) : je note a' = a bar

exprimer AB=AC =====> |a-b| = |a-c| ====> |a-b|²=|a-c|²

====> (a-b).(a'-b') = (a-c).(a'-c') .....développer.....

===>CQFD

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pour la 2) je note a' = a bar ^^
on a (a-b)(b'-c')_(c-b)(a'-c')=0
=> (a-b)/(c-b)=(a'-c')/(b'-c')
=> l(a-b)/(c-b)l=l(a'-c')/(b'-c')l
=>AB/BC=AC/BC
=>AB=AC
=>ABC triangle isocele en A