Romania

voici une Romanaise

Enoncé:

trouver toute les fonctions f definients sur l ensemble des entiers naturels vers lui meme et verifiant l equation fonctionelle suivante :



Ps: j ai trouvé une belle sollution pour cette derniere , je vais la poster aprés avoir vu les votres

on a deja parlé de cela chez le prof de philo!
récurrence!

Bonjour memath.

Super problème

Ma proposition :

Spoiler:

n.naoufal a écrit:

on a deja parlé de cela chez le prof de philo!
récurrence!

hhh , en parlant du philo , khok rah ghare9 dem1 mdrrr ba9i majbadt walo.

pour mr PCO ; rien à dire trés jolie.

ma sollution sera posté se soir

je me demande Mr. pco est ce que f(f(x))=x ne suffit pour affirmer l'injectivité voire la bijection!
sinon c superbe!

n.naoufal a écrit:

je me demande Mr. pco est ce que f(f(x))=x ne suffit pour affirmer l'injectivité voire la bijection!
sinon c superbe!

Ah oui, bien sûr! f(f(x))=x suffit pour l'injectivité (et bien sûr aussi pour la bijectivité) et donc la deuxième étape de ma démonstration est superflue.

Merci!

je vois que tu n'as pas encore poster ta solution ,donc j vais poster la mienne
f est bijective donc si elle est decroissante ellesera strcitement decroissante,or l'existance d'une application de N dans N est impossible ( {f(p)/p£N} est infinis et N est minoré ) donc f est strictement croissante :et on a f(0)>=0 supposons que f(n)>=n
=>f(n+1)>=f(n)+1>=n+1
d'ou qlq n£N f(n)>=n or f(f(n))=n donc n>=f(n)
d'ou f(n)=n
........

kalm a écrit:

... donc f est strictement croissante ........

Bonjour Kalm.

Non, malheureusement.
Le fait que f, bijective, ne soit pas décroissante n'implique pas qu'elle est croissante. Il existe un tas de bijections de N dans N qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes (ou plutôt croissantes à certains endroits, décroissantes à d'autres).

exemple

kalm a écrit:

Bonjour pco,

Pourriez vous me donner un exemple, s'il vous plait ?

1
5
4
3
2
7
6
10
9
8
21
20
19
18
11
12
13
14
17
16
15
22
23
40
39
........

ah ouiiiii je suis vraiment null hhh,oh je suis entrain de dormire quoi,oh j oublier que c'est des entiers,encore la vitesse tue,ouf j'ai une autre methode mais je vais pas l poster maintenant a cause du temps et d'avoir peur de l'existance d'une faute cachée,mais en tt cas c t une solution intuitive
merci pco

slt;
pour x=0: pour tt y appartenant à N : f(f(y))=y
f est une fonction, alors x=y implique f(x)=f(y)
donc fof(x)=fof(y) implique f(x)=f(y) pour tt x,y

: pour tt f(x),f(y): fof(x)=fof(y) implique f(x)=f(y)
: pour tt X,Y : f(X)=f(Y) implique X=Y f est donc injective
et on a pour tt naturel z' il existe au moins un naturel z tel que:
f(z)= z' à savoir z=f(z'); donc f est surjective.(surjective + injective = bijective)
f admet une fonction réciproque f'.



f(f(x))=x implique f(x)=f'(x) implique f(x)= x pour tt x (naturel)

averroes a écrit:

f(x)=f'(x) implique f(x)= x pour tt x (naturel)

Bonjour Averroes,

Malheusement non, f(x)=f^[-1](x) n'implique pas f(x)=x.

Il existe un tas de bijections involutives (égales à leur réciproque, c;a.d. telles que f(f(x))=x) de N dans N

slt à tous^^:
je veux bien poster ma soluce(dsl pour le retard ^^)
on a: f:IN-->IN et f est bijective.
on montre que f est impaire par suit f(0)=0.
avec x=0
f(f(y))=y.
on considere la suite definie par: x_0 =x et pour tt n>=0 :
x_(n+1)=f(x_n) alors l'e.f devient:
x_(n+2)=x_n
l'équation X²-1=0 donne comme solutions 1 et -1.
donc il existe des constantes a,b tel que:
x_n=a+(-1)^nb
considerons que b#0
pour une bonne valeur de n impaire on aura:
x_n<0 ce qui est absurde puisque f>=0.
donc b=0.
==>x_n=a , pour n=0 :
x=x_0=a
et pour n=1:
x_1=f(x)=x.

Perelman a écrit:

on a: f:IN-->IN donc il existe c tel que f(c)=0(*)

je pense qu'il faut etudier d'abord la bijectivité de f,sinon veuillez bien m'expliquer !!

oui tu as raison j'ai oublié de montrer que f est bijective.
je démontre ca alors:
pour x=0 ==> f(f(y))=y puisque fof est affine donc elle est bijective.
et on utilisant la propriété:
"Si f o g est bijective, alors f est surjective et g est injective." ca vient directement que f est bijective aussi.
voilà Mr.figo...

reslt à tous
j'ai trouvé une autre solution qui me parait interessante..
on a f(x)>=0 et f(0)=0
f(f(y))=y (1)
f(x²)=xf(x) (2)
posons f(y)=Y donc :
f(Y)=f(f(y))=y
et posons x²=X donc:xf(x)=f(X)
et l'e.f devient:
f(X+Y)=f(X)+f(Y) qu'elle est l'e.f de cauchy alors f est linéaire sur IN.
et on déduit que f(x)=x
PS: on peut utiliser ce resultat :f(X+Y)=f(X)+f(Y)
pour résoudre l'e.f dans IR !
pour y=0 :
f(x²)=xf(x)
I)
pour -x le membre droit reste invariable,donc c semblable pour le membre gauche ce qui veut dire:
xf(x)=-xf(-x) / x#0
==>f(x)=f(-x)
f est impaire.
II)
on calcule f(1):
puisque f est surgective alors il existe d tel que: f(d)=-1
pour y=x on a : f(x²+f(x))=x(f(x)+1) alors pour x=d
f(d²-1)=0 ==> d²-1=0 ==> d=-1 ou 1
alors f(1)=-1 ou f(-1)=-1
f est impaire donc il a deux signes diffirentes sur IR+ et IR- et puisque de f(1)=1>0==> f est positive sur IR+ et négative sur IR-.
on sait que:
f(X+Y)=f(X)+f(Y) donc f est liénaire sur Q+.
pour tt X,Y >=0 on a:
f(X+Y)=f(X)+f(Y)>=f(X) ==> f est croissante sur IR+.
donc d'apres l'e.f de cauchy f est linéaire sur IR+ et par imparité f est liénaire sur IR ce qui conduit finalement à:
f(x)=x
la meme chose pour f(1)=-1 qui conduit à :
f(x)=-x