| | olymiade Romania |  |
|
|
| Auteur | Message |
|---|
dhiab
Féru
 Nombre de messages : 56
Age : 61
Date d'inscription : 27/01/2010
| | Sujet: olymiade Romania Lun 18 Juil 2011, 16:23 | |
| | |
|
| | |
yasserito
Expert sup
Nombre de messages : 615
Age : 29
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009
| | Sujet: Re: olymiade Romania Lun 18 Juil 2011, 17:19 | |
| Posons x+y=k On a k^3+k^3+30xy-3x²y-3xy²=2000 Alors 2k^3-2000+3xy(10-k)=0 Ainsi (k-10)(2k²+200+20k-3xy)=0 alors k=10 ou 2k²+200+20k-3xy=0 2k²+200-20k-3xy=0 <=> 2x²+2y²+xy+200+20x+20y=0 <=> 1/2(x+y)²+(x+20/3)².3/2+(y+20/3)².3/2+200/3=0 impossibleainsi x+y=10sauf erreur 
Dernière édition par yasserito le Mar 19 Juil 2011, 11:43, édité 1 fois | |
|
| | |
Othman24
Féru
Nombre de messages : 43
Age : 32
Date d'inscription : 23/07/2010
| | Sujet: Re: olymiade Romania Lun 18 Juil 2011, 17:23 | |
| Car : 2000 = 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y)^3 , si x+y<10 impossible, si x+y>10 impossible. | |
|
| | |
yasserito
Expert sup
Nombre de messages : 615
Age : 29
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009
| | Sujet: Re: olymiade Romania Lun 18 Juil 2011, 17:25 | |
| Je vois que ce n'est pas necessaire qu'ils soient entier, ou bien j'ai commis une faute?! | |
|
| | |
yasserito
Expert sup
Nombre de messages : 615
Age : 29
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009
| | Sujet: Re: olymiade Romania Lun 18 Juil 2011, 17:26 | |
| - Othman24 a écrit:
- Car : 2000 = 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y)^3 , si x+y<10 impossible, si x+y>10 impossible.
Comment ? pourquoi c'est impossible! veuillez expliquer svp! | |
|
| | |
kira
Maître
Nombre de messages : 152
Age : 32
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 15/05/2009
| | Sujet: Re: olymiade Romania Lun 18 Juil 2011, 17:27 | |
| salut
si je me permet ,on a a^3 +b^3 +c^3 -3abc= 1/2 (a+b+c) [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ] qu'on peut prouver en dévellopent le determinant cyclyque D(a,b,c) de deux facons ou par simple calcul avec pqr .
donc
x^3+y^3-1000+30xy=1/2(x+y-10)[(x-y)^2+(y+10)^2+(10+x)^2]
or on a x^3+y^3-1000+30xy=1000-(x+y)^3=-(x+y-10)(100+10(x+y)+(x+y)²)
si on suppose (x+y-10)#0 on a contradiction
d'ou le resultat | |
|
| | |
yasserito
Expert sup
Nombre de messages : 615
Age : 29
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009
| | Sujet: Re: olymiade Romania Lun 18 Juil 2011, 17:46 | |
| j'ai aime ta methode mais c'est pas aussi facile que ca de dire on a une contradiction c'est difficile un peu a montrer... | |
|
| | |
Othman24
Féru
Nombre de messages : 43
Age : 32
Date d'inscription : 23/07/2010
| | Sujet: Re: olymiade Romania Lun 18 Juil 2011, 18:22 | |
| Vos methodes sont fausses à la fin. Solution:2000 = 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y)^3 <=> 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y-10)((x+y)² + 10(x+y) + 100)
<=> ((x+y)-10)(2(x+y)² + 20(x+y) + 200 - 3xy) = 0 Montrons que l'équation du gauche est différente de 0:
2(x+y)² + 20(x+y) + 200 - 3xy = 0 <=> 2((x+(y+5))²+75)=3xy>0
Prouvons ce qui est en rouge: 2(x+(y+5))² > 4x(y+5) >= 3xy <=> x(y+20)>=0
Si x>0: on a xy>0 alors y>0 alors c'est juste. Si x<0 alors y<0 donc 4x(y+5)>=3xy <=> xy>=-20 qui est juste (xy>0)
Cela prouve que ce qui est en rouge est juste. Et par conséquent, 2((x+(y+5))²+75)>3xy donc 10=x+y. CQFD.
Dernière édition par Othman24 le Mar 19 Juil 2011, 02:00, édité 1 fois | |
|
| | |
kira
Maître
Nombre de messages : 152
Age : 32
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 15/05/2009
| | Sujet: Re: olymiade Romania Lun 18 Juil 2011, 19:49 | |
| - yasserito a écrit:
- j'ai aime ta methode mais c'est pas aussi facile que ca de dire on a une contradiction c'est difficile un peu a montrer...
puisque x^3+y^3-1000+30xy=1/2(x+y-10)[(x-y)^2+(y+10)^2+(10+x)^2] or on a x^3+y^3-1000+30xy=1000-(x+y)^3=-(x+y-10)(100+10(x+y)+(x+y)²) donc 1/2(x+y-10)[(x-y)^2+(y+10)^2+(10+x)^2]=-(x+y-10)(100+10(x+y)+(x+y)²) si (x+y-10)#0 on peut simplifier avec dc 1/2 [(x-y)^2+(y+10)^2+(10+x)^2] =-(100+10(x+y)+(x+y)²) la contradiction dc (x+y=10 | |
|
| | |
yasserito
Expert sup
Nombre de messages : 615
Age : 29
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009
| | Sujet: Re: olymiade Romania Lun 18 Juil 2011, 22:17 | |
| - Othman24 a écrit:
- Vos methodes sont fausses à la fin.
Solution:
2000 = 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y)^3 <=> 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y-10)((x+y)² + 10(x+y) + 100)
<=> ((x+y)-10)(2(x+y)² + 20(x+y) + 200 - 3xy) = 0 Montrons que l'équation du gauche est différente de 0:
2(x+y)² + 20(x+y) + 200 - 3xy = 0 <=> 2((x+(y+5))²+75)=3xy>0
Prouvons ce qui est en rouge: 2(x+(y+5))² > 4x(y+5) >= 3xy <=> x(y+20)>=0
Si x>0: on a xy>0 alors y>0 alors c'est juste. Si x<0 alors y<0 on divise ce qui est en rouge par x alors 4(y+5)=<y
donc y =< -5/3 (sauf le cas de y=-1, on peut vérifier qu'elle juste pour ce cas aussi..)
Cela prouve que ce qui est en rouge est juste. Et par conséquent, 2((x+(y+5))²+75)>3xy donc 10=x+y. CQFD. Il ne sont pas fausses, sinon prouve le moi !  | |
|
| | |
Othman24
Féru
Nombre de messages : 43
Age : 32
Date d'inscription : 23/07/2010
| | Sujet: Re: olymiade Romania Mar 19 Juil 2011, 01:41 | |
| - yasserito a écrit:
- Posons x+y=k
On a k^3+k^3+30xy-3x²y-3xy²=2000
Alors 2k^3-2000+3xy(10-k)=0
Ainsi (k-10)(2k²+200-20k-3xy)=0
alors k=10 ou 2k²+200-20k-3xy=0
2k²+200-20k-3xy=0 <=> 2x²+2y²+xy+200-20x-20y=0
<=> 1/2(x+y)²+(x-20/3)².3/2+(y-20/3)².3/2+200/3=0
impossible
ainsi x+y=10
sauf erreur Ta faute est en rouge.. t'as mal factorisé l'expression a^3-b^3 ou k^3-10^3. La solution de Kira est juste. | |
|
| | |
yasserito
Expert sup
Nombre de messages : 615
Age : 29
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009
| | Sujet: Re: olymiade Romania Mar 19 Juil 2011, 11:45 | |
| - Othman24 a écrit:
-
Ta faute est en rouge.. t'as mal factorisé l'expression a^3-b^3 ou k^3-10^3.
La solution de Kira est juste. C'est pas grande chose, suffit de remplacer le - par le + dans toutes les etapes d'apres ... Tu peux la verifier mtn ! | |
|
| | |
MacII
Débutant
Nombre de messages : 2
Age : 33
Date d'inscription : 15/06/2012
| | Sujet: Re: olymiade Romania Ven 15 Juin 2012, 19:43 | |
| je l'ai trouvé avec une autre methode :
on suppose que x+y=10 est vrai
on a x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000
(x+y)(x^2-xy+y^2)+(10)^3+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2+1000+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2-1000+30xy
10x^2+10y^2+20xy-1000
10(x^2+y^2+2xy)-1000
10(x+y)^2-1000
10(10)^2-1000
1000-1000 = 0
---> donc x+y=10
| |
|
| | |
MacII
Débutant
Nombre de messages : 2
Age : 33
Date d'inscription : 15/06/2012
| | Sujet: Re: olymiade Romania Ven 15 Juin 2012, 19:44 | |
| je l'ai trouvé avec une autre methode :
on suppose que x+y=10 est vrai
on a x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000
(x+y)(x^2-xy+y^2)+(10)^3+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2+1000+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2-1000+30xy
10x^2+10y^2+20xy-1000
10(x^2+y^2+2xy)-1000
10(x+y)^2-1000
10(10)^2-1000
1000-1000 = 0
---> donc x+y=10
| |
|
| | |
yasserito
Expert sup
Nombre de messages : 615
Age : 29
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009
| | Sujet: Re: olymiade Romania Ven 15 Juin 2012, 21:23 | |
| - MacII a écrit:
- je l'ai trouvé avec une autre methode :
on suppose que x+y=10 est vrai
on a x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000
(x+y)(x^2-xy+y^2)+(10)^3+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2+1000+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2-1000+30xy
10x^2+10y^2+20xy-1000
10(x^2+y^2+2xy)-1000
10(x+y)^2-1000
10(10)^2-1000
1000-1000 = 0
---> donc x+y=10
C'est l'implication inverse que tu as demontré ... | |
|
| | |
Contenu sponsorisé
| | Sujet: Re: olymiade Romania | |
| |
|
| | |
| | olymiade Romania | |
|
