2 défis en arithmétique

Hey all !

Comme je suis nouveau sur le forum, je voudrais repérer les plus solides entre vous. Je vous lance donc deux défis en arithmétique.

Exercice 1 :

Décomposer 1999 en une somme d'entiers de sorte que leur produit soit le plus grand possible.

Exercice 2 :

Prouver que de n'importe quel ensemble de 10 nombres à deux chiffres, on peut extraire deux sous ensembles disjoints non vides tels que les sommes des nombres soient les mêmes dans ces deux sous ensembles.


ENJOY

le 1 me plait bien

si la somme contient x et x>=4 donc x=x-2+2

et 2(x-2)>=x donc vaut mieu decomposer x 2 et 3 de facon à ce qu on aurai le plus de 3 que possible ; et puisque 1999=665*3+4

donc le produit max est 3^665*4

Bien joué ! BOGOOOOOOOOOOOSSS !

j'ai pensé à donner une solution général !!
considérons des a_1,a_2,...a_n dont la somme égale à A nombre fixe.
si l'un des a_i est égale à 1 on remplace un nombre a_k par a_k 1 on remarque que le,produit est plus grand que le produit des a_i initial.
si a_i égale à 4, i le produit ni la somme ne se modifie (2 2)...
si a_i >4 on pose a_i=(a_i -2) 2 donc le nouveau produit est plus grand.
il nous reste que des 2 et des 3. puisque 2^3< 3^2
il y a 3 cas:
A=3k => V.M = 3^k
A=3k+1 => V.M = 4 . 3^{k-1}
A=3k+2 => V.M 2. 3^k

1999=3*666+1 => V.M= 4.3^665

Bonsoir,

Un ensemble à dix éléments a 2^10 sous ensembles, soit 1024, dont 1023 non vides.

La somme d'au plus dix nombres de deux chiffres est inférieurs à :

99+98+97....+90 = 945.

Il existe donc au moins deux sous ensembles distincts donnant la même somme, la question est résolue.

on sait que les sous ensembles sont determiner par le cardinal = 2^n-1.
la on voit que 2^ 10 -1 =1023 sous ensembles non vides avec 10 éléments. la somme des élement sla plus grande est 945 quiest inférieur à 1023.par suite selon le th. dirichlet il y aura deux sous ensembles qui ont la meme somme.

EvaristeGalois a écrit:

Hey all !
Comme je suis nouveau sur le forum, je voudrais repérer les plus solides entre vous. Je vous lance donc deux défis en arithmétique.
.........
ENJOY

BJR EvaristeGalois !!
Deux déjà !!
Voilà , la TEAM que tu cherches pour ton PROJET est là .....
Il reste à vous entrainer et compter aussi sur pco ( Patrick ) qui est un Grand Spécialiste dans les Equa-Fonc. et les Inégalités ; son concours sera des plus efficaces et formateur pour Vous !!!!
Quant à Moi , Je Ne Suis Pas Transcendant Dans ce Créneau Précis ... C'est une fâçon de parler , disons que c'est pas ma tasse de thé !!!

Bonne Chance à Vous Tous et Toutes !!

merci mr.Lhassane

Merci Mr LHASSAN.
c''est génial de trouver les profs encadrants à nos cotés !! merci à vous!!!