arithmétique

si la somme de deux entiers non nuls est un nombre premier alors ces deux nombres sont premiers entre eux
vrai ou faux ??
moi je disais vrai mais j'ai pa de justification.Pouvez vous m'aider svp!!

chakal a écrit:

si la somme de deux entiers non nuls est un nombre premier alors ces deux nombres sont premiers entre eux
vrai ou faux ??
moi je disais vrai mais j'ai pa de justification.Pouvez vous m'aider svp!!

BSR à Toutes et Tous !!
BSR chakal !!

Je présume que tu parles d'entiers NATURELS !!
Soient a et b deux entiers naturels non nuls tels que a+b=p soit PREMIER .
Supposons qu'un entier d divise à la fois a et b ALORS d doit diviser leur somme a+b donc d divise p et comme p est PREMIER , on a soit :
d=1 et le problème est REGLE !!
ou bien
d=p ; mais celà est IMPOSSIBLE car d<=a et d<=b et celà impliquerait que p=d=a+b<=a et p=d=a+b<=b et donc b=0 et a=0 puis p=0
Ce qui est très gênant .......

Allé Babay !!

c'est a dire que je dois repondre par faux??

chakal a écrit:

c'est a dire que je dois repondre par faux??

NON ! Pas du tout , c'est VRAI !!
Les entiers a et b sont bien PREMIERS ENTRE EUX , si leur somme est un entier PREMIER !!
Pas de doute là dessus !!

on m'a dit dans l'enoncé que a et b sont non nuls

BSR chakal !!

Précisément , ma démonstration utilise cette hypothèse là !!
Donc en résumé :
Si un ENTIER PREMIER s'écrit comme la somme de 2 entiers naturels NON NULS a et b ALORS ces deux entiers a et b sont PREMIERS ENTRE EUX !!!!!!!!!!!!! Sûr à 1000% !!

ok merciiii beaucoup

svp g pa compris qlqchose ; dans un exercice on m'a demander de montrer que x-1 divise x^n-1 ca g fé puis on m'a dit en deduire que 2 puissance ab -1 divisible par (2 puissance b) - 1
puis o m'a dit montrer que (2 puissance n)est premier alors n est premier
puis calculer 2 puissance 11 - 1
svp g rien compris sauf la premiere question. aidez moi svp

chakal a écrit:

svp g pa compris qlqchose ; dans un exercice on m'a demander de montrer que x-1 divise x^n-1 ca g fé puis on m'a dit en deduire que 2 puissance ab -1 divisible par (2 puissance b) - 1
puis o m'a dit montrer que (2 puissance n)est premier alors n est premier
puis calculer 2 puissance 11 - 1
svp g rien compris sauf la premiere question. aidez moi svp

BSR chakal !!!

1) Pour la première , tu utilises l'identité remarquable
x^n - 1=(x-1).(x^(n-1)+x^(n-2)...................... +x+1)
dès que l'entier n est >=2 .
2) Tu écriras 2^(a.b) -1 sous la forme {2^b}^a -1 et tu appliqueras la question 1) avec n=a et tu poseras x=2^b .
3) C'est VRAI !!
Si n=0 alors 2^n=2^0=1 n'est pas premier !!
Si n=1 alors 2^n=2 est PREMIER ;
et si n>=2 alors 2^n est PAIR différent de 2 donc NON PREMIER .
Le seul cas ou 2^n est PREMIER c'est n=1 auquel cas n est bien PREMIER !!
4) Calcul de 2^(11) - 1
Pas besoin de calculatrice !!
2^(10)=1024
donc 2^(11)=2048
puis 2^(11) - 1=2047 Je crois ???!!!
C'est aussi égal à 2^(10)+2^(9)+2^(8 )+ ......+2^(3)+2^(2)+2+1

d'accord merci g bien compris

g pa compris cet exercice ; on considére la suite Un définie par Un=2^n+3^n
1) montrer que pour tout entier naturel n , 2^n et 3^n sont premier entre eux
2) monter que pour tous entiers naturel non nuls x et y , le pgcd de (x+y) et 2x+3y = pgcd de x et y
3) en deduire que Un et Un+2 sont premiers entre eux
4) montere que pgcd de Un et Un+2 divise le pgcd de (5x2^n) et ( 5x3^n)
en deduire que le pgcd U2k et U2k+2 = 5
en deduire que le pgcd de U2k et U2k+2=1
svp g pas compris l'exercice veuillez m'aider.
merci

pour chakal

1)th: si pgcd(a,b) = 1 ===> pgcd( a^n , b^n) = 1

pgcd(2,3)=1 ===> pgcd(2^n , 3^n) =1

2)si d divise (x+y) et (2x+3y)

==> d divise 3(x+y) - (2x+3y) = x

et d divise (x+y) - x = y

réciproquement si d divise x et y

===> d divise (x+y) et (2x+3y)

donc les pgcd sont égaux

-------------------------------------
3) Un = 2^n + 3^n = x + y

U(n+2) = 4.2^n + 9.3^n = 4x + 9y

la même méthode que 2)

===> 1 = pgcd(x,y) = pgcd(x+y , 4x+9y)

4) ?????? le pgcd( Un , U(n+2) )= 1

il y a un pb.

revoir l'énoncé

.