inéquations fonctionnelles

Déterminer les applications f : IR ---> IR telles que , pour tous x>y de IR,

on a : (f(x)-f(y))/(x-y) € [f(y),f(x)] pr tt x>y

donc lim(x-->y)(f(x)-f(y))/(x-y)=f(y)

d ou f'(y)=f(y) pr tt y de R on trouve facilement que :

f(x)=e^(x+c) avec c une constante reelle .

reciproquement sois f(x)=e^(x+c) et x>y

donc max(f(x),f(y))=f(x) et l on a :

g(x)=f(x)-f(y)-(x-y)f(x)=<0

car : g'(x)=-e^(x+c)(x-y)<0 donc g(x)=<g(y)=0

et :

h(y)=f(x)-f(y)-(x-y)f(y)>=0

car : h'(y)=f(x)-f(y)>=0 donc h(x)>=h(y)=0

(sauf erreur)

Bonjour memath.

1) votre raisonnement suppose f(x) continue, ce qui n'est pas dans l'énoncé et que vous ne pouvez pas déduire immédiatement de l'inégalité de départ.

2) attention au fait que f' = f admet aussi comme solution f=0

oui vous avez parfaitement raison , j ai pas fait attention en remplacons lim(x-->y)f(x) par f(y)

mrci

2Max(f(x), f(y)) =|f(x)-f(y)|+(f(x)+f(y))