une équation fonctionnelle à deux inconnues

Soit f , g : IR ---> IR tels que pour tous réels x et y on ait f( x + g(y) ) = xf(y) - yf(x) + g(x)

et supposons que g s'annule en un certain réel a

en faisant x=y dans la relation rouge on a pour tout réel x , f( x + g(x) ) = g(x) d'où en particulier f(a)=0

en faisant y=a dans la relation rouge on a pour tout réel x , (1+a)f(x)=g(x)

la nullité de 1+a conduit à la solution triviale ( f = 0 , g = 0 )

la relation rouge s'écrit alors pour tous réels x et y , f( x + g(y) ) = xf(y) - yf(x) + (1+a)f(x)

et en faisant y=1+a on a pour tout réel x , f( x + g(1+a) ) = xf(1+a)

qui s'écrit aussi pour tout réel x , f(x) = ( x - g(1+a) ) f(1+a)

de même la nullité de f(1+a) conduit à la solution triviale ( f = 0 , g = 0 )

sinon comme f(a)=0 on a g(1+a) = a = (1+a)f(1+a)

ce qui donne pour tout réel x , f(x) = (a/(1+a)).(x-a) et g(x) = a.(x-a) avec a#-1

et on vérifie facilement que ce couple est bien solution de l'équation rouge .

------------------------------------------------------------

voilà il ne reste maintenant pour conclure :

qu'à prouver que pour tout couple solution (f,g) la fonction g s'annule au moins une fois sur IR .

sinon déterminer toutes les solutions (f,g) où g ne s'annule pas sur IR . sauf erreur bien entendu

salut à tous !!!

Ben j'attends une intevention par joystar1 de donner si x#y ou non mais en tout cas:

si l'exo est donné par:

<< trouver toutes les couples (f;g) de IR dans IR tq pr tt x;y£IR (sans aucune conditions sur x et y) tq:

H(x;y) : f(x + g(y)) = xf(y) - yf(x) + g(x) >>

alors c'est facile de trouver les solutions:

symbolisation:

*) f(0)=a
*) g(0)=b.

introduction:

H(0;x) : f(g(x)) = -ax + b (1)
H(x;0) : f(x+b) = ax + g(x) (2)
H(0;0) : f(b)=b (point fixe trivial pour f).

la nature des fonctions f;g:

si on suppose que a=0:

donc (1) donne fog(x)=b et (2) donne que fog(x) = g(g(x)-b) = b
ce qui donne que f et g sont constantes d'ou la seule solution c'est le couple: (f=0;g=0).

si on suppose que a#0:

(1) donne que f est surjective (car Df=Dg=IR) donc forcement (2) donne que g est surjective aussi.
d'une autre part:
soit h;k£IR donc:

g(h)=g(k) ==> fog(h) = fog(k) ==>-ah + b = -ak + b ==> h=k donc g est injective d'ou g est bijective .

Conclusion:
-> f est surjective de IR dans IR (et bijective si aucune condition sur x;y car f(x + g(x)) = g(x) ==> f injective)
-> g est bijective de IR dans IR.

si on suppose que b=0:

on aura f(0)=a=0 ce qui n'est pas le cas !!!!

Devoloppement des fonctions f;g:

on a g est bijective donc il existe ununique u £ IR tq: g(u)=0 et un v£IR tq f(v)=0 .

H(u;y=x=u) : f(u + g(u)) = g(u)=0 ===> f(u)=0.

H(0;u) : f(g(u)) =-au + b ===> a = -au + b ===> a(1+u)=b

H(v;u) : f(v) = g(v)=0=g(u) ce qui montre que u=v (donc l'element où g et f s'annule est unique !!!!!) .

et H(x;u) : f(x) = -uf(x) + g(x) ===> f(x)(1+u)=g(x) (E)

*** si u=-1: g(x)=0 ==>f(x)=0 ce qui est deja traité:

*** donc u # -1:

(E) donne que le systeme {f;g } est lié donc les couples des solutions sont les solutions definies par:

( f ; (1+u) f ) avec u £ IR\{-1}

ce n'est pas definitif car je vais travailler pour f.


(la suite demain incha allah car c'est 5h00 et il me reste bcp des choses à traiter ....)

et merci
PS: ça pour ma promesse qui je l'ai donné à joystar1
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lahoucine

mathema a écrit:

...
*) f(0)=a
*) g(0)=b.
...
H(0;x) : f(g(x)) = -ax + b (1)
H(x;0) : f(x+b) = ax + g(x) (2)
...
si on suppose que a#0:
...


(1) donne que f est surjective (car Df=Dg=IR) donc forcement (2) donne que g est surjective aussi.

Malheureusement, en l'état de mes connaissances, bien plus faibles que les votres, j'en conviens, f(x) surjective n'implique pas que g(x)=f(x+b)-ax est surjective ...
(Par exemple, f(x)=ax est surjective alors que g(x)=f(x+b)-ax = ab ne me semble pas (sauf erreur), l'être)

Peut-être pourriez vous arrêter de jouer avec nous en nous donnant des fausses pistes et plutôt nous donner , comme promis, la solution, que vous avez affirmé il y a quelques jours, posséder et que vous avez promis de nous donner.

Je commence à partager l'avis de Mr pco

salut mes monsieurs !!!

j'ai pas entendu cette implication mais si tu vois que:

H(x;x) : f(x + g(x))=g(x)

que vous voulez dire à propos de f ????

pco a écrit:

... mes connaissances, bien plus faibles que les votres....

Non tu vois que je n'ai qu'un etudiant en 3éme année par contre je vois que tu es un prof en plus les equat.fonct. ce n'est pas mon domaine.
et je vous respect tous car peut etre vous avez tres fort que moi car vous avez auant d'experience que moi et je veux pas fronter avec aucun de vous.

et la forme d'equation fonctionnelle nous croit plusieurs choses. et j'aime bien Avoir des fautes. (par contre les autres)

elhor_abdelali a écrit:

Je commence à partager l'avis de Mr pco

je vois pas pourquoi ce emoticone car je suis pas contre vous idées et je veux pas l'etre car tu es un prof et moi qu'un etudiant et je te respecte et je suis pres de corriger toutes mes faute.

et merci

PS:je sais que PCO m'aime pas je sais pas pourquoi mais je sais aussi qu'il cherche à ..... avec mes respects
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lahoucine

mathema a écrit:

mais si tu vois que:

H(x;x) : f(x + g(x))=g(x)

que vous voulez dire à propos de f ????

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire.
Si vous voulez dire que vous maintenez que f(x+b) = ax + g(x) et f(x) surjective implique g surjective, vous avez tort et mon contre-exemple le prouve.

Si vous voulez dire que f(x + g(x))=g(x) et f surjective implique g surjective, vous avez tort également.
Prendre par exemple :
h(x)=e^x pour x <=0 et h(x)=x+e^(-x) pour x>=0
h(x) est une bijection de R dans R+*. Soit h^[-1] sa réciproque de R+* dans R
Soit g(x)=h(x)-x. g(x) >0 et donc g(x) est injective non surjective
Soit f(x) = g(h^[-1](x)) pour x >0, f(0)=0 et f(x)=1/x pour x<0.
f(x) est surjective
f(x+g(x))=g(x) pour tout x
g(x) est injective non surjective

Si vous voulez dire autre chose ...

mathema a écrit:

... par contre je vois que tu es un prof ...

Je sais que vous n'avez jamais proféré un seul mensonge sur ce forum, et donc que vous êtes persuadé de ce que vous écrivez. Vous devriez vérifier vos sources.

J'ai terminé mes études il y a exactement 30 ans (réseaux et télécommunications, pas mathématiques). Je n'ai jamais été prof. J'ai été quinze ans chef d'entreprises et suis maintenant consultant indépendant en sécurité des systèmes d'information (identification, authentification, habilitations en particulier). Je fais des maths pour mon pur plaisir et celui d'aider d'autres personnes.
Je n'ai par exemple jamais gardé par devers moi une démonstration que je possédais et qui intéressais les autres. J'ai toujours partagé.

Vous êtes un étudiant intelligent et devriez comprendre que honnêteté, humilité et partage sont certainement les meilleures voies pour progresser, être reconnu et apprécié.

Bon courage à vous,
et vérifiez vos sources.

pco a écrit:

Si vous voulez dire autre chose ...

.

salut Mr Patrick !!!

Est ce que vous savez que j'en ai aucun livre mathematique et je n'ai jamais demandé une telle source . et ça c'est une histoire personnelle....

et je veux dire peut etre que votre exemple m'apparait pas analogique à notre cas. mais soyer sûr que le fait ou g est injective est suffisant pour le reste de ma reponse (et l'autre me reste à verifier).

pco a écrit:

Je sais que vous n'avez jamais proféré un seul mensonge sur ce forum, et donc que vous êtes persuadé de ce que vous écrivez. Vous devriez vérifier vos sources.

ben evidement! comme j'ai dis je n'ai pas de source et j'aime les maths et je suis pres et entrain de faire un tel chemin mathematique pour le futur et j'aime conserver mes sucrets à MOI même et de ne pas le dire car je suis pas fiere (même que chacun espere d'avoir ça) et je peux PAS menter et precisement dans les maths (et notre relagion nous interdis de l'etre).

pco a écrit:

J'ai terminé mes études il y a exactement 30 ans (réseaux et télécommunications, pas mathématiques). Je n'ai jamais été prof. J'ai été quinze ans chef d'entreprises et suis maintenant consultant indépendant en sécurité des systèmes d'information (identification, authentification, habilitations en particulier).

ben j'ai sentis et mes sentiments ne peut pas etre toujours torts car malgré que je n'ai pas vue votre age j'ai sentis que tu es agé que moi même tu as terminé tes etudes 30ans mais moi d'apres ma naissance jusqu'à maintenant j'en ai plus que 22 ans. c'est ça qui me laisse à te croire que tu es un prof et forcement dans tous les cas me forcer à te respecter...

et vois que les maths ce sont des sciences inées n'ont aucun relation pour l'ecole et le rensignement mais c'est un plaisir personnel...

pco a écrit:

). Je fais des maths pour mon pur plaisir et celui d'aider d'autres personnes.

je vois qu'on a le même but moi aussi j'aime aider les autres et pour cela je suis toujours disponible pour tous les etudiants et les eleves et j'aime leurs aider .

pco a écrit:

Je n'ai par exemple jamais gardé par devers moi une démonstration que je possédais et qui intéressais les autres. J'ai toujours partagé.

OUI je sais bien de quoi tu parle dans cette parole!!! si tu souviens Mr Patrick l'ancienne conversation à propos de l'equation fonctionnelle que je l'ai posté tu trouveras que tu m'as dis des choses qui ne sont pas honnetes et vraies pour les accepter... c'est ça qui me laisse de ne pas poster ma solution et je suis pres de discutter une telle resolution et j'ai pas oublié ça et je ne l'oublierai jamais et la solution peut etre quand je l'aurai le temps je la taper (car elle est mainscrit et pas encore organisée) .....

pco a écrit:

Vous êtes un étudiant intelligent ...

Même j'entends ça chez plusieurs personnes je ne le considere pas vrai car c'est l'un des buts qui me voudrai l'avoir au future et pour le garder comme un espoir (c-a-d l'intelligence) il ne faut l'avoir qu'à l'avenir...

et merci pour ces grandes mots

pco a écrit:

et devriez comprendre que honnêteté, humilité et partage sont certainement les meilleures voies pour progresser, être reconnu et apprécié.

OUI je suis d'accords et vraiment d'accords et je pour cela que je suis là avec mes amis et ma grande famille (les membres du forum )
et pour ce que tu veux dire je l'expliqué en haut...

pco a écrit:

Bon courage à vous
et vérifiez vos sources

Merci et Bon courage à toi aussi Mr et je suis sûr qu'on peut fronter tres prochainement et ça me plait bien
et mes sources ce sont mon pouvoir mathematiques...
et à la prochaine Merci pour toi et tes indications
et merci à tous les membres.
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lahoucine

mathema a écrit:

...

Bon, je crois que c'est désespéré.
PLONK

un peu de respect please.....