Un troisième : Analyse et Dénombrabilité

1-soit f une fonction définie sur IR réglée ie elle possède en tt point une limite à droite et une limite à gauche.
Mq l'ensemble de points de discontinuité de cette fonction est au plus dénombrable.
2-Soit A une partie dénombrable de IR , montrer l'existence d'une fonction f :IR->IR monotone , dont A est l'ensemble de points de discontinuité.

On rappelle que A est dénombrable ssi A est en bijection avec IN.

la réponse à cet exo est lourde voire difficil,il fait l'objet d'un concours Mines et ponts (je rappelle pas l'année) et utlise des notions de limsup et liminf.

ce que je rappelle de la démonstration c'est que pour une fonction intergable,à variation bornée ou...(autre critères) l'ensembles des points de discontinuité est:

P={x£IR tq osc_f(x)>0}=U_k£IN{x£IR tq osc_f(x)>1/k}=U_k£IN-P_k

et faut donc montrer que pour tou k£IN,P_k ne contient qu'un nombre fini de points...noter que osc-f désigne lim(x-->x_0)supf(x)-lim(x-->x_0)inff(x)..

Il y a des preuves directes pour la première on utilise le théorème de Borel-Lebesgue...

c'est ce que je veux éviter moi...ça figure pas dans le programme ce genre de théorème et tu aura-je suppose-un grand 0 si tu les utilise à l'oral...

Je crois pas =D , ce théorème ne t'éliminera pas ...

1/salam alaykoum:(on prend f croissante)
on a l'ensemble de discontinuité de f est A={x£IR/lim(y->x+)f(y)>lim(y->x-)f(y)}
on pose B={]lim(y->x-)f(y),lim(y->x+)f(y)[/x£A}
on a clairement A et B sont en bijection .
et Q est en surjection avec B (densité de Q dans IR)
et puisque Q est en surjection avec Z*IN par (p,q)->p/q
et Z*IN est en bijection avec IN par (m,n)->(2m+1)2^n
d'ou B est denombrable ,donc A est aussi denombrable.
j'ai aussi une autre idée avec les classes d'equivalence,mais j'ai pas envie d'essayer car cet exo ma vraiment .. (3nkchni).

callo a écrit:

Je crois pas =D , ce théorème ne t'éliminera pas ...

Si...
A moins de le démontrer...

callo a écrit:

...........
2-Soit A une partie dénombrable de IR , montrer l'existence d'une fonction f :IR->IR monotone , dont A est l'ensemble de points de discontinuité.
On rappelle que A est dénombrable ssi A est en bijection avec IN.

BSR callo !!!

Il existe une suite strictement croissante de réels {an}n telle que
A={an ; n entier }
Je ne détaille pas la construction de cette suite sauf si besoin .....
Celà étant , on construit la fonction f ainsi :
f(x)=ai sur [ai;a(i+1)[ pour chaque i entier
f est en escalier ; je pense que f répond à la question puisque en chaque point ai le saut de f vaut ai-a(i-1) est différent de ZERO .


A+ Hamza & BSR hamzaaa !!

Bonsoir Mr LHASSANE,hamzaaa et kalm

Votre solution ODL est correcte;

Celle de Kalm, je vais la lire très bientôt.

@ la prochaine.

Salut callo !!

Un peu SIMPLET , Non ?????
J'ai des doutes comme même !!!! ( En fait , j'ai défini f seulement sur la réunion des [ai;a(i+1)[ , il y aurait peut être des situations à examiner , qu'est ce qui se passe avant a0 et "après " Lim{an }le cas échéant ...
Enfin , j'avais bien raison de douter .....

A++ LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

BSR callo !!!

Il existe une suite strictement croissante de réels {an}n telle que
A={an ; n entier }
Je ne détaille pas la construction de cette suite sauf si besoin .....
Celà étant , on construit la fonction f ainsi :
f(x)=ai sur [ai;a(i+1)[ pour chaque i entier
f est en escalier ; je pense que f répond à la question puisque en chaque point ai le saut de f vaut ai-a(i-1) est différent de ZERO .

BJR callo !!
DSL mais je tiens à émettre quelques réserves sur ce que j'ai déjà dit ....

Ce détail me semble pas toujours vrai :
<< Il existe une suite strictement croissante de réels {an}n telle que
A={an ; n entier } >>
Je reviendrais là dessus dès que ce sera plus clair ......

Bonne Journée à Toutes et Tous !!
LHASSANE

la bijection entre un ensemble et IN c'est une indexation de ses element.or l'ensemble est ordoné donc je pense que ce ta dit est vrai!!.

BJR kalm !!

Je n'en suis toujours pas convaicu ! En fait quand je considère une partie dénombrable de IR , on peut toujours l'écrire comme celà :
A={bn , n dans IN } avec les bn 2 à 2 distincts .
Il n'est pas toujours vrai que la suite {bn} soit croissante , par exemple :
1) bn=1/(n+1) si n est dans IN .
2) bn=n.(-1)^n si n est dans IN .

Mais ce que je voudrais c'est réorganiser cette suite par une réindexation de manière à la rendre strictement croissante de manière à pouvoir construire ma fonction en escalier f ....

Merci pour ton Intérêt et a++++
LHASSANE

mais nn ,tu classe d'abord les elements dans l'ordre croissant et puis tu les indexe.

kalm a écrit:

mais nn ,tu classe d'abord les elements dans l'ordre croissant et puis tu les indexe.

Quand on dit "tu classes"... c'est déja une indexation on va dire... les 2 opérations vont de paire

peut etre.hh