Irrationnels denses dans une partie / assez chaud !!

Soit M une partie majorée de IR*+ contenant au moins deux éléments et tq pour tt (a,b)£M², sqrt(ab)£M. montrer que M inter (IR-Q) est dense dans [infM,supM] (inter signifie intersection ...)

trés chaud...wallah.

On connait la méthode de la dichotomie:si x est un élément de [a,b] ,on définit la suite (a_n,b_n) par:(a0,b0)=(a,b)
et (a_k+1,b_k+1)=((a_k+b_k)/2,b_k) si x appartient a [(a_k+b_k)/2,b_k] ou (a_k+1,b_k+1)=(a_k,(a_k+b_k)/2) sinon.
Il est clair que b_k -a_k=(b-a)/2^k d ou a_k (et b_k)tend vers x.
Revenons a notre probleme: posons ln(M)={ln(x) qd x dans M} bien défini car on travaille sur R+*.
on a (ln(x)+ln(y))/2=ln(sqrt(ab)) qui appartient a ln(M).Ainsi si on fixe x dans [ln(a),ln(b)] avec a et b dans M ,par dichotomie, on peut trouver une suite dans ln(M) qui tend vers x.ln réalise une bijection croissante ente M et ln(M) donc on peut dire que M est dense dans [inf(M),sup(M)].(pour inf(M) et sup(M) par définition mm il existe des suites de M qui tendent vers ces valeurs)
On remarque qu'au moins l'une des suites construites ci dessus est infinie(a_n ou b_n),donc si on fixe x dans [inf(M),sup(M)] alors on peut trouver une suite infinie d'éléments de M qui tend vers x.
On remarque aussi que si on prend un nombre rationnel,en introduisant la racine plusieurs fois,a partir d'un certain rang on va obtenir un nombre irrationnel.Ainsi,pour la suite infinie considérée,elle va devenir irrationnellea partir d'un certain rang CQFD (sauf erreur)