petit exercice sur polynômes^^

bonsoir toutes et tous et Voici l'exercice :
1.a. Déterminer un polynôme P du second degré tel que l'on ait, pour tout réel x:
P(x + 1)- P(x)=x.
b. Ecrire l'égalité précédente pour x=1, x=2, ..., x=n.
c.En déduire la somme S1=1 + 2 + ...+ n.
2.a.Déterminer le polynôme Q du troisième degré tel que l'on ait, pour tout réel x:
Q( x + 1) - Q(x)=x².
b.En déduire S²= 1²+2²+ ... +n².

a)
P(x+1)=ax²+2ax+a+bx+b+c
P(x)=ax²+bx+c
P(x+1)-P(x)=2ax+a+b=x
donc 2a=1 et a+b=0 --> a=1/2 , b=-1/2

P(x)=(1/2)x²-(1/2)x+c (On prend P(1)=0 --> c=0 ) --> P(x)=(1/2)x²-(1/2)x
b) P(2)-P(1)=1 , P(n+1)-P(n)=n

c) S = 1+2+3+...+n = P(2)-P(1)+ P(3)-P(2)+...+ P(n)-P(n-1)+ P(n+1)-P(n) = P(n+1)-P(1)=(n+1)²/2-(n+1)/2=n(n+1)/2

The same pour l'autre ..

Salut Mr.MouaDoS, L'hypothèse P(1)=0 n'est obligatoire, par exemple, en déterminant le polynôme qui vérifie la relation P(x+1)-P(x)=x on trouve que:
P(x)=x²/2 - x/2 + c, quelque soit c£IR,
et ca ne cause pas de problème si on veut calculer la somme S=1+2+3+...+n , car
S=P(n+1)-P(1)=[P(n+1)-c]-[P(1)-c]

Oui P(1) egale a n'importe quel reel .. j'ai choisi 0

MohE a écrit:

Salut Mr.MouaDoS, L'hypothèse P(1)=0 n'est obligatoire, par exemple, en déterminant le polynôme qui vérifie la relation P(x+1)-P(x)=x on trouve que:
P(x)=x²/2 - x/2 + c, quelque soit c£IR,
et ca ne cause pas de problème si on veut calculer la somme S=1+2+3+...+n , car
S=P(n+1)-P(1)=[P(n+1)-c]-[P(1)-c]

si ca va poser un problème car P(1) serait écrit bidalalat c et donc il yora un c dans la somme S.

bonsoir ,

1)
a) soit P(x)=ax²+bx+c ( p(x) deuxième degré ) et {a n'égale pas à 0 )
on P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c=ax²+2ax+a+bx+b+c=P(x)+2ax+a+b
et puisque P(x+1)-P(x)=x donc 2ax+a+b=x
ce qui veut dire que a+b=0
et 2a = 1 > a = 1/2 > b = -1/2 > c=0
enfin P(x) = 1/2x²-1/2x (on peut factoriser par le 1/2 )
b) C'est rien
c) il y a deux methodes , je vais dire la facile sans déduire de la premiere :

S1= 1+2+3+...+4
2S1 = ( 1+n)+(2+x-1) ....+ ( n+1)
2S1 = (n+1)+.....(n+1) ( n fois )
= n(n+1)
S1 = {n(n+1}/2

[ Sauf Erreur de Frappage ] la même chose pour l'autre !!

merci tous , lol j'ai pas entrer dans le forum longtemps depuis mois