équation fonctionelle (2)

trouver toutes les fonction f:=IR+*---->IR+* qui satisfont la condition suivante:
(x+y)f(yf(x))=x²f(f(x)+f(y))

désolé si je répond à cet exo avant patrick


je crois que telle fonctions n'existe pas.

montrons que telles fonctions vérifiant la condition sont injectives.

on échange x par y on aboutit à x²f(xf(x))=y²f(yf(y)).
pour y=1 ==>f(f(x))=x²f(f(1)x)
de mème pour y=1 ==>x²f(f(1)+f(x))=f(f(x))(x+1) et donc si on pose a=f(1) on obtient les deux relations:

f(f(x))=x²f(ax) (*) et f(a+f(x))=(x+1)f(ax) (**)

suppososns mnt que f(x)=f(y),par les deux relations x²f(ax)=y²f(ay) et (x+1)f(ax)=(y+1)f(ay).le rapport donne (x-y)(xy+x+y)=0 et donc x=y.

pour x>1 et y=x²-x on aura (x²-x)f(x)=f(x)+f(x²-x) et donc x²-x>1 pour tout x>1 absurde.

Elle est belle cette solution ! Bravo !

voir aussi https://mathsmaroc.jeun.fr/equations-fonctionnelles-f10/xyffxyxffxfy-t1161.htm

**a

Ma Solution :
Soit f une solution éventuelle à l'EF :
P(x,y) : (x+y)f(yf(x)) =x²(f(f(x)) +f(y))
P(x,1)(x+1)f(f(x))=x²(f(f(x))+f(1)) alors f est injective.
P(1,1) f(f(1))=f(1) =>f(1)=1
P(1,x)(x+1)f(x)=f(x)+1=> f(x)=1/x pour tout x £ IR+*.
Mais réciproquement cette fonction ne satisfait pas l'EF.
Conclusion : Il n'y a pas de solution à l'EF.

Autre solution:
Soit f une solution eventuelle a l'EF :
P(x,1):(x+1)f(f(x))=x²f(f(x)+f(1))
f(x)=f(y)=> x²/(x+1)=y²/(y+1)=>(x-y)(x+y+xy)=0=>x=y (=> f est injective)
p(1/2,1/2):f((1/2)*f(1/2))=f(2f(1/2))=>f(1/2)=0 (impossible)
Alors il n'y a pas de solution a cette E.F