pour les artistes ...!

dedicacé aux amoureux des inegos

a,b,c>0 si , a+b+c=1 donc :



egalité si et seulement si :

salùùùt
posant a=x/y ; b=y/z ; c=z/x cette inégalité devient
ça implique que :
et puisque x/y+y/z+z/x=1 ==>z=xy/(x+y-xy)
donc cette dernière inégo devient
aprés un peu du calcule on trouve
et maintenent on doit pensé à la fonction
là j'ai bloqué car je n'ai pas des téchnique pour étudié les variables de ce genre des fonction !!
et je souhaite que qqn m'aide

peut-être on doit fixé y , et en considère que f est une polynome d'un variable x ,et on calcule le delta ......

désolé kogu si tu as supposé que a=x/y ; b=y/z ; c=z/x donc tu as supposé que abc=1 ce ki né pa vrai puisk a+b+c=1

car (abc<=1/27<1)

ah oui dsl faute d'inatention ,ça m'a conduit à une autre faute que j'ai commis (x/y+y/z+z/x=1) ce qui est impossible car pour tt x,y,z>0 x/y+y/z+z/x >=3

A quick observation gives us the fact that the exercice should be solved by mixing variable:
I don't like calculation but he necesity!!!
Now let f(x,y,z)=LHS
f(x,y,z)-f(x,x,z)<=0.
f(x,x,z) is a function with one variable.His max occurs when x=2racine(3)-3
y=x
and so z=7-4racine(3)

une sollution sans calcul existe , d'ou le titre du topic !!

a+bc= a(a+b+c) +bc= (a+b)(a+c) les autres ossi , en multipliant par (a+b)(a+c)(b+c) , l'inégalité devient :
a(b+c) +b(a+c) +sqrt(abc)(a+b) <= K(a+b)(a+c)(b+c) avec K= 1+3sqrt(3)\4
or : (a+b)(a+c)(b+c)= (a+b+c)(ab+ac+bc)-abc= ab+ac+bc-abc
donc l'inégalité devient :abc+ab +sqrt(abc)(a+b) <= 3sqrt(3)\4 (a+b)(a+c)(b+c)
ona : (a+b)(c+a)(c+b)= (a+b)(c+ab) = (a+b)(c+ab\3) +2\3 ab(a+b) >= 2\sqrt(3) sqrt(abc)(a+b) +2\3 ab - 2\3 abc

et (a+b)(a+c)(b+c)= a²b+b²a+a²c+c²a+b²c+c²b+2abc
= [(2sqrt(3)-3)\3 a²c + (2sqrt(3)-3)\3 b²c + (7-4sqrt3)\3 a²b +(7-4sqrt3)\3 b²a + c²a +c²b] + (6-2sqrt3)\3 c(a²+b²) + (4sqrt3-4)\3ab(a+b) + 2abc
en remarquant que : 7-4sqrt(3)= (2sqrt(3)-3)²\3 et en appliquant am-gm entre crochets et sur a²+b² il vient que :
(a+b)(a+c)(b+c) >= 6(2sqrt(3)-3)\3 abc + 2\3 (6-2sqrt3)abc + (4sqrt3-4)\3 ab(1-c) + 2abc= (4sqrt3+4)\3 abc + (4sqrt3-4)\3 ab

alors (a+b)(a+c)(b+c)= 2(a+b)(a+c)(b+c)\3 + (a+b)(a+c)(b+c)\3 >= 4\3sqrt3 sqrt(abc)(a+b) +4\9 ab - 4\9 abc + (4sqrt3+4)\9 abc +(4sqrt3-4)\9 ab = 4\3sqrt3 sqrt(abc)(a+b) +4sqrt(3)\9 abc + 4sqrt3\9 ab = 4\3sqrt3 ( sqrt(abc)(a+b) + ab+abc) en multipliant les cotés de l'inégalité par 3sqrt3\4 on aura le résultat , (sauf erreur)
oufff!!

oui belle solution anas avec am-gm , il existe une solution trés asticieuse à ce probleme en utilisant des substitutions trigonometriques
essayez !!

jé l'intuition d'utiliser la lemme :



mé le problème va s'entrechoquer avec le faite que A,B,C sont lé angles d'un triangle,bon j y réflechis encore.....