Commutant d'une matrice diagonale

Soit A £ Mn(IK) et Ca={M£Mn(IK) tel que AM=MA}, appelé commutant de A.
1) Montrer que Ca est une sous-algébre de Mn(IK).(Simple)
2)Soit A=diag(t_i,....,t_n) une matrice diagonale dont tous les t_i sont distinct.
a)Chercher Ca (pas dure)(On trouve que c'est l'ensemble des matrices scalaires avec tout les éléments nuls sauf les éléments de la diagonale !)
b)Soit Phi :Mn(IK)---->Mn(IK)
M----->MA-AM
Montrer que Im(phi) est l'ensemble des matrices à diagonale nulle.

(Pour cette exercice le prof nous à proposer de montrer l'existence d'un matrice Y tel que MA-AM=Y, moi j'ai préféré prendre une autre voie j'ai fait la remarque que ker(phi)=Ca et que toute les matrices Mn(IK) peuvent être décomposer on deux matrices B et D , tel que B £ Ca D £ im(phi), reste a montrer que ker(phi) et im(phi) sont supplémentaire .....)

Corrigé moi si je me trompe !
Amicalement Stifler

ce que je connais moi et ce que j'ai fait c'est la méthode proposée par votre prof,sinon j'aimerai bien voir ta méthode (ça sera mieux si tu la rédige avec tt ses détailles).

j'y travail