arithmetique et algebre

soit A et B deux matrices carrées d'ordre n.
montrer que si AB-BA est inversible et A²+B²=V3(AB-BA),alors n est un multiple de 6.

V3 désigne la racine de 3.

joli exercie,je l'ai fé en demi heure,j'attend la réaction des autres et je posterai ma solution.

peux-tu la poster!je vois que t'es le seul intéréssé par cet exo!

je pense qu'il y en bcp au cours de recherche!!

d'accord voici ma solution:

on a:

(A+iB)(A-iB)=A²+B²-i(AB-BA)=(V3-i)(AB-BA)

en passant au détérminant et en usant la propriété de la

multilinéarité du détérminant:

det((A+iB)(A-iB))=(V3-i)^{n}*det(AB-BA)

AB -BA est inversible,alors (A+iB)(A-iB) l'est aussi,ainsi:

det((A+iB)(A-iB))>0 <==> det(A+iB)det(A-iB)>0

Or A et B sont deux matrices réels,ce qui implique:

det(A+iB)det(A-iB)=det(A+iB)*bar(det(A+iB)>0

ce qui implique que (V3-i)^{n} est une réels,et puisque:

V3-i=2*exp(-i*pi/6),il vient que n est un multiple de n,ce qu'il faut démontrer.

BSR à Toutes et Tous !!
BSR Radouane !!

C'est très Joli , Sobre et Smart !!
Je ne connaissais pas du tout la Solution à ce Problème au demeurant très séduisant .
Grand Merci à erdos2009 de l'avoir posé .

LHASSANE

de rien Mr-lhassane,mé qui mérite ces emerciements c'est radouane_BNE pour sa jolie solution.