bizarre

vraiment aucune idée sur la solution!!

soient a,b et c trois complexes,on considére la fonction f(x)=max{Re(a*exp(ix)),Re(b*exp(ix)),Re(c*exp(ix))}.


trouver la valeur de int_{0}^{2*pi}f(x)dx.

des calculs BIZARRES on abouti à la valeur |a-b|+|b-c|+|c-a|,si c'est vrai je posterai la solution.

wassi erdos2009;les calcules que j'ai fait sont correctes ou non,car je serai déçu si nn

je sais pas si c'est la réponse,moi j'ai pas eu le résultat,c'est un exo d'oral d'x si je me rappelle.

Joli exercice
Voici une méthode il y en a une autre géométrique

A=arg(a), B=arg(b) et C=arg(c) dans [0,2pi[

f(x)=Max{|a|cos(x+A),|b|cos(x+B),|c|cos(x+C)}.

Etude de signe de |a|cos(x+A)-|b|cos(x+B) pour x dans [0,2pi]

|a|cos(x+A)-|b|cos(x+B)=(|a|cos(A)-|b|cos(B))cos(x)-(|a|sin(A)-|b|sin(B))sin(x)

(|a|cos(A)-|b|cos(B))²+(|a|sin(A)-|b|sin(B))²=|a|²+|b|²-2ab cos(A-B)=|a-b|²

Soit u(a,b)= arccos[(|a|cos(A)-|b|cos(B))/|a-b|]

=>|a|cos(x+A)-|b|cos(x+B) =|a-b|cos(x+u)
=> le signe de |a|cos(x+A)-|b|cos(x+B) = le signe de cos(x+u)

1) si u(a,b)€[0,pi/2]
Max(|a|cos(x+A),|b|cos(x+B))=|a|cos(x+A) si 0=<x=<pi/2-u(a,b) ou 3pi/2-u(a,b)=<x=<2pi
Max(|a|cos(x+A),|b|cos(x+B))=|b|cos(x+B) si pi/2-u(a,b)=<x=<3pi/2-u(a,b)

si u(a,b)€[pi/2,pi]
Max(|a|cos(x+A),|b|cos(x+B))=|b|cos(x+B) si 0=<x=<3pi/2-u(a,b) ou 5pi/2-u(a,b)=<x=<2pi
Max(|a|cos(x+A),|b|cos(x+B))=|a|cos(x+A) si 3pi/2-u(a,b)=<x=<5pi/2-u(a,b)

Remarque :
l'équation |a|cos(x+A)=|b|cos(x+B) admet deux solutions dans [0,2pi]
{pi/2-u(a,b), 3pi/2-u(a,b)} si u(a,b)€[0,pi/2] ou
{3pi/2-u(a,b), 5pi/2-u(a,b)} si u(a,b)€[pi/2,pi]


2) si u(a,b)€[0,pi/2]

** si 0=<x=<pi/2-u(a,b) ou 3pi/2-u(a,b)=<x=<2pi
==>f(x)=Max(|a|cos(x+A),|c|cos(x+C))

si u(a,c)€[0,pi/2]
f(x)=|a|cos(x+A) si 0=<x=<pi/2-u(a,c) ou 3pi/2-u(a,c)=<x=<2pi
f(x)=|c|cos(x+C) si pi/2-u(a,c)=<x=<3pi/2-u(a,c)

si u(a,c)€[pi/2,pi]
f(x)=|c|cos(x+C) si 0=<x=<3pi/2-u(a,c) ou 5pi/2-u(a,c)=<x=<2pi
f(x)=|a|cos(x+A) si 3pi/2-u(a,c)=<x=<5pi/2-u(a,c)

** si pi/2-u(a,b)=<x=<3pi/2-u(a,b)
==>f(x)=Max(|b|cos(x+B),|c|cos(x+C))

si u(b,c)€[0,pi/2]
f(x)=|b|cos(x+B) si 0=<x=<pi/2-u(b,c) ou 3pi/2-u(b,c)=<x=<2pi
f(x)=|c|cos(x+C) si pi/2-u(b,c)=<x=<3pi/2-u(b,c)

si u(b,c)€[pi/2,pi]
f(x)=|c|cos(x+C) si 0=<x=<3pi/2-u(b,c) ou 5pi/2-u(b,c)=<x=<2pi
f(x)=|b|cos(x+B) si 3pi/2-u(b,c)=<x=<5pi/2-u(b,c)

3) si u(a,b)€[pi/2,pi]

** 0=<x=<3pi/2-u(a,b) ou 5pi/2-u(a,b)=<x=<2pi
==>f(x)=Max(|b|cos(x+B),|c|cos(x+C))

si u(b,c)€[0,pi/2]
f(x)=|b|cos(x+B) si 0=<x=<pi/2-u(b,c) ou 3pi/2-u(b,c)=<x=<2pi
f(x)=|c|cos(x+C) si pi/2-u(b,c)=<x=<3pi/2-u(b,c)

si u(b,c)€[pi/2,pi]
f(x)=|c|cos(x+C) si 0=<x=<3pi/2-u(b,c) ou 5pi/2-u(b,c)=<x=<2pi
f(x)=|b|cos(x+B) si 3pi/2-u(b,c)=<x=<5pi/2-u(b,c)

** 3pi/2-u(a,b)=<x=<5pi/2-u(a,b)
==>f(x)=Max(|a|cos(x+A),|c|cos(x+C))

si u(a,c)€[0,pi/2]
f(x)=|a|cos(x+A) si 0=<x=<pi/2-u(a,c) ou 3pi/2-u(a,c)=<x=<2pi)
f(x)=|c|cos(x+C) si pi/2-u(a,c)=<x=<3pi/2-u(a,c)

si u(a,c)€[pi/2,pi]
f(x)=|c|cos(x+C) si 0=<x=<3pi/2-u(a,c) ou 5pi/2-u(a,c)=<x=<2pi
f(x)=|a|cos(x+A) si 3pi/2-u(a,c)=<x=<5pi/2-u(a,c)



4) la symétrie des rôles permet de supposer que 0=<u(b,c)=<u(a,c)=<u(a,b)=<pi.

** si 0=<u(b,c)=<(a,c)=<u(a,b)=<pi/2

I= int(0,2pi,f(x))

I = int(0,pi/2-u(a,b),f(x))+int(pi/2-u(a,b),3pi/2-u(a,b),f(x))+int(3pi/2-u(a,b),2pi,f(x))
= I_1+I_2+I_3

I_1 = int(0,pi/2-u(a,b),f(x))=int(0,pi/2-u(a,b),Max(|a|cos(x+A),|c|cos(x+C)))
I_1 = int(0,pi/2-u(a,b),|a|cos(x+A)) car 0=<x=<pi/2-u(a,b)=<pi/2-u(a,c)

I_2 = int(pi/2-u(a,b),3pi/2-u(a,b),f(x))
I_2 = int(pi/2-u(a,b),3pi/2-u(a,b),Max(|b|cos(x+B),|c|cos(x+C)))
I_2 = int(pi/2-u(a,b),pi/2-u(b,c),Max(|b|cos(x+B),|c|cos(x+C)))
+int(pi/2-u(b,c),3pi/2-u(a,b),Max(|b|cos(x+B),|c|cos(x+C)))
I_2 = int(pi/2-u(a,b),pi/2-u(b,c),|b|cos(x+B))
+int(pi/2-u(b,c),3pi/2-u(a,b),|c|cos(x+C)) car pi/2-u(b,c)=<x=<3pi/2-u(a,b)=<3pi/2-u(b,c)

I_3 = int(3pi/2-u(a,b),2pi,f(x))
I_3 = int(3pi/2-u(a,b),2pi,Max(|b|cos(x+B),|c|cos(x+C)))
I_3 = int(3pi/2-u(a,b),3pi/2-u(b,c),|c|cos(x+C))
+int(3pi/2-u(b,c),2pi,|b|cos(x+B)) car pi/2-u(b,c)=<3pi/2-u(a,b)=<x=<3pi/2-u(b,c)



==> I= int(0,pi/2-u(a,b),|a|cos(x+A))
+ int(pi/2-u(a,b),pi/2-u(b,c),|b|cos(x+B))
+ int(pi/2-u(b,c),3pi/2-u(a,b),|c|cos(x+C))
+ int(3pi/2-u(a,b),3pi/2-u(b,c),|c|cos(x+C))
+ int(3pi/2-u(b,c),2pi,|b|cos(x+B))

==> I= |a|sin(pi/2-u(a,b)+A)-|a|sin(A)
+ |b|sin(pi/2-u(b,c)+B)-|b|sin(pi/2-u(a,b)+B)
+ |c|sin(3pi/2-u(a,b)+C)-|c|sin(pi/2-u(b,c)+C)
+ |c|sin(3pi/2-u(b,c)+C)-|c|sin(3pi/2-u(a,b)+C)
+ |b|sin(B)-|b|sin(3pi/2-u(b,c)+B)


u(a,b)= arccos[(|a|cos(A)-|b|cos(B))/|a-b|]
cos(u(a,b))= (|a|cos(A)-|b|cos(B))/|a-b|)
sin(u(a,b))= (|a|sin(A)-|b|sin(B))/|a-b|)

==> sin(pi/2-u(a,b)+A)=cos(u(a,b)-A)=cos(u(a,b))cos(A)+sin(a,b)sin(B)
=(cos(A)(|a|cos(A)-|b|cos(B))+sin(B)(|a|sin(A)-|b|sin(B)))/|a-b|
=(|a|(cos²(A)+sin(A)sin(B))-|b|(cos(A)cos(B)+sin²(B))/|a-b|

les autres termes se calculent de la même façon. c'est fastidieux...

l'essentiel qu'il faut retenir est l'étude du signe de x---> r*cos(x+a)-s*cos(x+b) avec r,s,a et b des constantes.
Si quelqu'un termine le calcul ça sera ....
Mais n'oublier pas qu'il reste encore les cas :


** si 0=<u(b,c)=<(a,c)=<pi/2=<u(a,b)=<pi
** si 0=<u(b,c)=<pi/2=<(a,c)=<u(a,b)=<pi
** si pi/2=<u(b,c)=<(a,c)=<u(a,b)=<pi

c'est la meme demarche que j'ai fait mais j arreter le calcule car j'ai trouvé tros de cas a traiter .

ce genre d'exo est donné à l'oral?

cette voie est si longue qu'il faut des heurs et des heurs pour balayer tous les cas.

voici une plus simple(je pense):


****************************************************
ma démo se base sur l'égalité suivante;
pour a,b et c trois réels,on a:
max{a,b,c}-min{a,b,c}=1/2*(max{a,b}+max{a,c}+max{b,c}-min{a,b}-min{b,c}-min{b,c})
****************************************************

On pose g(x)=min{Re(a*exp(ix)),Re(b*exp(ix)),Re(c*exp(ix))}.

on a :

int_{0}^{2*pi}g(x)dx=-int_{0}^{2*pi}max{-Re(a*exp(ix)),-Re(b*exp(ix)),-Re(c*exp(ix))}dx
=-int_{0}^{2*pi}max{Re(a*exp(i(x+pi))),Re(b*exp(i(x+pi))),Re(c*exp(i(x+pi)))}dx
=-int_{pi}^{3*pi}max{Re(a*exp(ix)),Re(b*exp(ix)),Re(c*exp(ix))}dx

vue que f est 2*pi périodique,alors int_{0}^{2*pi}g(x)dx=-I.

on remarque que max{u,v}=1/2*(u+v+|u-v|).

a ce stade on note:

K(a,b)=int_{0}^{2pi}max{Re(a*exp(ix)),Re(b*exp(ix))}.
ainsi vue la remaque on obtient facilement K(a,b)=1/2*int_{0}^{2pi}|a*exp(ix)-b*exp(ix)|dx.

on pose a=t+it' et b=z+iz'.
on obtient aprés un calcul simple K(a,b)=1/2*|a-b|*int_{0}^{2*pi}|sin(x+A)|dx avec A=V((t-z)²+(t'-z')²)) par suite:

K(a,b)=2|a-b|

ainsi d'aprés la remarque préliminaire on obtient en faisant le mème travail que les autres termes:

2*I=int_{0}^{2*pi}(f(x)-g(x))dx=2*(|a-b|+|b-c|+|c-a|)

d'où ce que j'ai postulé dans mon premier mesage.

on remarque bien que I est le perimetre d'un triangle de longueurs a,b et c,mé je vois pas comment démontrer cela géométriquement pour la simpe raison que je suis nul en géométrie.

je pense pas Mr.Attioui.En effet;

K(a,b)=1/2*Re(int_{0}^{2*pi}(a*exp(ix)-b*exp(ix))dx)+1/2*int_{0}^{2*pi}|Re(a*exp(ix))-Re(b*exp(ix))|dx
=1/2*int_{0}^{2*pi}|Re(a*exp(ix))-Re(b*exp(ix))|dx

et on a:
Re(a*exp(ix))-Re(b*exp(ix))=(t-z)*cos(x)-(t'-z')sin(x))
=A*sin(x+B)

avec A=V((t-z)²+(t'-z')²)=|a-b|
et sin(B)=(t-z)/A et cos(B)=-(t'-z')/A
ainsi:

1/2*int_{0}^{2*pi}|Re(a*exp(ix))-Re(b*exp(ix))|dx=1/2*|a-b|*int_{0}^{2*pi}|sin(x+B)|dx=1/2*|a-b|*int_{0}^{2*pi}|sin(x)|dx
=2*|a-b|

maintenant c'est claire je suppose.

la démo de radouane_BNE me semble correcte!!sauf autre indication par Mr.Attioui.

C'est un bel exercice que l'on peut généraliser à n complexes a_1,...,a_n: calculer J=int_{0}^{2*pi} max{Re(a_k*exp(ix)),1<=k<=n}dx.
Pour n=1 on obtient J=0; par suite, J est inchangé si on ajoute une même constante à chaque a_k.

Pour n=2, en posant b=a_2-a_1: J=int_{0}^{2*pi} max{0,Re(b*exp(ix))}dx=int_{0}^{2*pi} max{0,|b|cos(x+arg(b))}dx=int_{0}^{2*pi} max{0,|b|cos(x)}dx =int_{-pi/2}^{pi/2} |b|cos(x)dx=2|b|=2|a_2-a_1|.

Pour n=3 on utilise l'astuce de radouane_BNE que l'on peut encore écrire: max(u,v,w)-min(u,v,w)=1/2*(|u-v|+|v-w|+|w-u|); puisque J=int_{0}^{2*pi} max{Re(a_k*exp(i(x+pi)))}dx=int_{0}^{2*pi} max{-Re(a_k*exp(ix))}dx=-int_{0}^{2*pi} min{Re(a_k*exp(ix))}dx on obtient J=1/4*(sigma_{k=1}^3 int_{0}^{2*pi} |Re((a_k-a_{k+1})*exp(ix))|dx)=sigma_{k=1}^3 |a_k-a_{k+1}| puisque int_{0}^{2*pi} |Re(b*exp(ix))|dx=int_{0}^{2*pi} |Re(|b|*exp(i(x+arg(b)))|dx=int_{0}^{2*pi} |b|*|cos(x)|dx=|b|.

Pour n>=4, je vous laisse chercher la bonne généralisation; une fois qu'on a trouvé la formule générale, la démonstration n'est pas difficile (en utilisant un produit scalaire).

trés joli jandri,j'ai encore des doutes que tout ceci a une intérprétation géométrique!comment ,je sé pas encore?

tout simplement par ce que 1/2*int_{0}^{2*pi}Re(a*exp(ix)-b*exp(ix))dx)=0.

radouane_BNE n'a pas encore trouver l'erreur plus tôt la confusion.

je sais pas Mr. Attioui,mais j'en suis sur de ma démo,pouvez-vous m'indiquer où est mon erreur ?! je l'ai répété et l'ai réctifié plusieurs fois et j'ai pas trouvé cet erreur.

radouane_BNE a corrigé le 12 juin à 18h02 la petite coquille qu'il avait faite le 11 juin à 19h01 (oubli de la partie réelle).
Sa démonstration est parfaitement correcte.