inégalité

soit f une fonction définie de IR vers IR et bornée.
montrer l'existence d'un x_0 tel quen pour tout x de IR et différent de x_0 on :
f(x)-f(x_0)<|x-x_0|

considerer la fonction g(x)=f(x)+|x|/2.

les limites en + et - infinie montre l'existence d'un x_0 tel que g(x)=<g(x_0) pour tout x de IR...d'où le résultat.

radouane_BNE a écrit:

considerer la fonction g(x)=f(x)+|x|/2.

les limites en + et - infinie montre l'existence d'un x_0 tel que g(x)=<g(x_0) pour tout x de IR...d'où le résultat.

on ne sait pas si f est continue

La démonstration de radouane_BNE est juste pour une fonction f continue (petite rectification: g(x)=f(x)-|x|/2 ).

Mais la propriété est fausse pour une fonction non continue; par exemple: f 1-périodique telle que f(x)=2x pour x dans [0,1[ .