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 la convergence d'une suite de matrice

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5 participants
AuteurMessage
erdos2009
Habitué



Masculin Nombre de messages : 14
Age : 37
Date d'inscription : 06/06/2009

la convergence d'une suite de matrice Empty
MessageSujet: la convergence d'une suite de matrice   la convergence d'une suite de matrice EmptyDim 14 Juin 2009, 11:27

soit A une matrice d'ordre n telle que 3*A^{3}=A^{2}+A+I.

montrer que (A^{k})_k£IN converge vers une matrice idempotent.
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abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: Re: la convergence d'une suite de matrice   la convergence d'une suite de matrice EmptyDim 14 Juin 2009, 13:32

P=3X^3-X²-X-1 est un polynôme annulateur.
P=(X-1)(3X²+2X+1)=3(X-1)(X-u)(X-v)
avec u=(-1+iV2)/3 et v=(-1-iV2)/3
par division euclidienne, pour tout k>3,
X^k=Q_k*P+(a_k*X²+b_k*X+c_k)

==> pour tout k>3, A^k=a_k*A²+b_k*A+c_k
Grâce aux racines de P, on détermine a_k, b_k et c_k comme suit:

a_k+ b_k+c_k=1
a_k*u²+ b_k*u+c_k=u^k
a_k*v²+ b_k*v+c_k=v^k

....
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Invité
Invité




la convergence d'une suite de matrice Empty
MessageSujet: Re: la convergence d'une suite de matrice   la convergence d'une suite de matrice EmptyDim 14 Juin 2009, 18:22

On n'a pas besoin de calculer explicitement A^k.
Le polynôme annulateur est scindé à racines simples sur le corps des complexes : X^3-X^2-X-1=(X-1)(3X^2+2X+1) avec les racines complexes conjuguées u et v de module 1/racine(3).
A est donc diagonalisable et A^k=M_1+u^k*M_2+v^k*M_3 converge vers M_1 qui est bien une matrice idempotente car elle est semblable à une matrice diagonale de termes diagonaux égaux à 1 ou 0 (c'est la matrice de la projection sur le sous-espace propre associé à 1).
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Invité
Invité




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MessageSujet: Re: la convergence d'une suite de matrice   la convergence d'une suite de matrice EmptyDim 14 Juin 2009, 18:26

On peut même exprimer simplement M_1 en fonction de A; puisque u et v sont solutions de 3x^2+2x+1=0 on obtient:
3A^2+2A+I_n=6M_1.
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radouane_BNE
Modérateur
radouane_BNE


Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
Date d'inscription : 11/01/2006

la convergence d'une suite de matrice Empty
MessageSujet: Re: la convergence d'une suite de matrice   la convergence d'une suite de matrice EmptyDim 14 Juin 2009, 18:30

mème résultat,on obtient une matrice dans le diagonal ne figurent que des 0 et des 1 et par suite B²=B d'ou c'est matrice idempotent.
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oussamaa
Débutant



Masculin Nombre de messages : 3
Age : 30
Date d'inscription : 16/06/2009

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MessageSujet: Re: la convergence d'une suite de matrice   la convergence d'une suite de matrice EmptyMar 16 Juin 2009, 15:48

salut je suis en troc commun jai choisi les sc math je doit travailler : alors je vous demande des exercice de mth ou des site pour me devloper car j'ai besoin d'exercice
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stifler
Maître
stifler


Masculin Nombre de messages : 292
Age : 34
Localisation : Casa
Date d'inscription : 09/06/2008

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MessageSujet: Re: la convergence d'une suite de matrice   la convergence d'une suite de matrice EmptyJeu 18 Juin 2009, 21:04

Indication : Factoriser le polynôme annulateur puis diagonaliser A et en déduire une écriture de
Ap:
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stifler
Maître
stifler


Masculin Nombre de messages : 292
Age : 34
Localisation : Casa
Date d'inscription : 09/06/2008

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MessageSujet: Re: la convergence d'une suite de matrice   la convergence d'une suite de matrice EmptyJeu 18 Juin 2009, 21:15

la convergence d'une suite de matrice 1245356092366
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MessageSujet: Re: la convergence d'une suite de matrice   la convergence d'une suite de matrice Empty

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